"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Многогранник — пространственное тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их общие стороны — рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами. Если приложить грань к плоскости, можно получить её отпечаток — плоский контур, по которому узнают форму и размеры соприкасавшейся части. Умение различать элементы многогранника помогает считать их без повторов, изучать модели и готовиться к работе с развёртками, площадями поверхности и объёмами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — пространственное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. В отличие от плоской фигуры, например треугольника, многогранник занимает часть пространства и имеет объём. Его поверхность не гладкая: она складывается из плоских частей. Это определение помогает отличать многогранники от шаров и других тел с кривой поверхностью.
Грань — многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника. Например, у куба каждая из шести квадратных сторон поверхности является гранью. Гранями называют именно части поверхности тела, а не любые многоугольники, которые можно увидеть внутри его рисунка. Это нужно, чтобы правильно описывать устройство модели.
Ребро — общая сторона двух граней, а вершина — общая точка нескольких рёбер. Ребро имеет форму отрезка, а вершина — это точка, где отрезки соединяются. У куба в каждой вершине встречаются три ребра. Эти названия позволяют точно указывать, как части поверхности соединены между собой.
Отпечаток многогранника — плоский рисунок или след, полученный при прикладывании многогранника либо его грани к плоскости. Если приложить к бумаге квадратную грань куба, останется квадратный след. По нему можно судить о форме и размерах соприкасавшейся части, но не обо всём пространственном теле. Поэтому отпечаток — это плоская информация о многограннике.
Многогранник получается, когда многоугольники соединены так, что вместе образуют замкнутую поверхность пространственного тела. Замкнутость означает, что поверхность не обрывается на краю: со всех сторон тело ограничено гранями. Если убрать одну грань у модели куба, получится уже не замкнутая оболочка. Именно соединение плоских частей позволяет многоугольникам ограничивать объёмную фигуру.
Грани соприкасаются по рёбрам, потому что у двух соседних многоугольников есть общая сторона. В модели куба, например, квадратная грань соседствует с другой квадратной вдоль целого отрезка, а не только в одной точке. В местах, где сходятся несколько таких сторон, образуются вершины. Так поверхность складывается в единую фигуру: грани встречаются по рёбрам, а рёбра соединяются в вершинах.
Чтобы подсчитать элементы, удобно выбрать одну грань и обойти модель по понятному порядку: например, сначала посчитать грани сверху и снизу, затем боковые. Рёбра можно отмечать на схеме или считать по одному, двигаясь по поверхности, а вершины — обходить по контуру и помечать уже пройденные. Такой порядок нужен потому, что один и тот же элемент виден с разных сторон. Если не отмечать его, легко случайно прибавить его к счёту ещё раз.
Отпечаток получают, прикладывая грань к плоской поверхности и оставляя след по её контуру. Если грань покрыть краской и прижать к бумаге, отпечаток покажет её очертания. Он передаёт форму грани, а при точном нанесении — и её размеры. Однако след не сообщает, какие другие грани есть у тела и как они соединены.
Одно тело может оставить разные отпечатки, потому что его грани не обязательно одинаковы. Если приложить к плоскости разные грани прямоугольного параллелепипеда, могут получиться прямоугольники с разными длинами сторон; у другой фигуры среди следов могут быть треугольники. На результат влияет то, какую часть поверхности приложили и какой её стороной. Поэтому, рассматривая отпечаток, нужно выяснить, какая именно грань соприкасалась с плоскостью.
| Признак | Многогранник | Его элемент или отпечаток |
|---|---|---|
| Что представляет собой | Замкнутое пространственное тело | Плоский многоугольник или контур на плоскости |
| Из чего состоит | Из граней, рёбер и вершин | Отпечаток отдельной грани или нескольких последовательно приложенных граней |
| Форма | Зависит от вида многогранника | Совпадает с формой соответствующей грани |
| Что можно определить | Число и взаимное расположение элементов | Форму и размеры соприкасающейся с плоскостью грани |
Сначала выберите признак в первом столбце, а затем сравните, что относится к пространственному телу и что — к его плоскому элементу или следу. Таблица помогает не смешивать сам многогранник с изображением, которое появляется при соприкосновении с плоскостью. При решении задач особенно полезны строки о форме и о том, какую информацию можно определить.
Задача 1. У куба подсчитать грани, рёбра и вершины, а также назвать форму его граней. Чтобы не пропустить элементы и не посчитать их дважды, будем обходить модель в определённом порядке. Представим куб так, что одна грань обращена к нам, а противоположная находится сзади. Все его грани одинаковы по форме.
Ответ: у куба 6 квадратных граней, 12 рёбер и 8 вершин. Удобно было считать элементы по группам: так ясно, откуда появляется каждое число, и легче заметить повторный счёт.
Задача 2. По отпечатку определить, какая грань оставила квадратный, прямоугольный или треугольный след. Здесь нужно сравнить контур отпечатка с формами многоугольников, образующих грани. Размер рисунка может быть уменьшен, поэтому важны его очертания и соотношение сторон. Если размеры известны, их тоже следует сопоставить.
Ответ: квадратный след оставила квадратная грань, прямоугольный — прямоугольная, треугольный — треугольная. Один только контур помогает назвать форму, но для определения конкретной грани могут понадобиться её размеры и описание тела.
Задача 3. Даны несколько отпечатков и описание многогранника. Нужно определить, какие из следов могут принадлежать его граням, и обосновать выбор. Одного совпадения по названию фигуры недостаточно: например, разные прямоугольные грани могут иметь разные размеры. Проверим каждый след по нескольким признакам.
Ответ: подходят только отпечатки, совпадающие по форме и размерам с гранями и не противоречащие их числу и типам. В решении нужно назвать признаки, по которым каждый след принят или исключён.
Ошибка — называть гранью любую плоскую область внутри изображения. Так бывает, когда забывают, что грань должна быть частью поверхности многогранника, а не просто линиями на его рисунке. Проверьте себя: можно ли выделенную область считать одним из многоугольников, из которых составлена поверхность? Если область лежит внутри рисунка и не является такой частью, это не грань.
Ребро иногда путают с гранью, потому что оба элемента видны на границе частей фигуры. Но ребро — отрезок, а грань — многоугольник, поэтому их нельзя называть одним словом. Чтобы проверить ответ, спросите себя, указывает ли он на линию или на плоскую область поверхности. Линия между соседними гранями — ребро.
При обходе модели можно посчитать одну вершину или одно ребро несколько раз: элемент остаётся видимым с разных сторон. Такое часто случается, если считать без выбранного порядка. Помечайте посчитанные элементы на рисунке или ведите список и возвращайтесь к началу обхода только после полного круга. Перед ответом проверьте, что каждый элемент отмечен ровно один раз.
Не всякий плоский контур следует считать полным отпечатком всего многогранника. Обычно он показывает границу той грани, которую приложили к плоскости, а не очертание всего тела. Ошибка возникает, если не учитывать, какая часть соприкасалась с поверхностью. Проверьте себя: выясните, какую грань прижимали и соответствует ли контур именно ей.
Для изучения многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и вершины, а также отличать плоские фигуры от пространственных тел. При чтении рисунков помогают навыки распознавания геометрических форм и измерения отрезков. Позже представления о гранях пригодятся при изучении развёрток, площадей поверхности и объёмов многогранников. Они также полезны, когда нужно изготовить и проверить геометрическую модель.
Чем многогранник отличается от обычного многоугольника?
Многоугольник — плоская фигура, а многогранник — пространственное тело. Его поверхность состоит из многоугольников, которые называются гранями.
Почему ребро не считают гранью?
Грань — это многоугольник, то есть плоская часть поверхности. Ребро — лишь отрезок, общая сторона двух граней, поэтому это разные элементы.
Можно ли по одному отпечатку полностью восстановить многогранник?
Обычно нельзя: один отпечаток сообщает форму и размеры только той грани, которая соприкасалась с плоскостью. Для восстановления тела нужно знать также число граней и то, как они соединены.
Как не пересчитать одну и ту же вершину или грань дважды?
Начните с выбранного элемента и обходите модель по заранее установленному порядку. Можно помечать уже посчитанные элементы или вести список, чтобы не возвращаться к ним.
Чем отпечаток отличается от развёртки многогранника?
Отпечаток — это след соприкосновения с плоскостью, обычно повторяющий форму одной грани. Развёртка показывает грани всего многогранника, соединённые на плоскости так, чтобы из них можно было сложить модель.
9.4. Многогранники. Отпечатки многогранников
