"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Развёртка многогранника — плоская фигура, составленная из его граней после разрезания поверхности по некоторым рёбрам. Если согнуть её по линиям соединения граней, можно получить исходное тело. Развёртки помогают представить устройство многогранника, проверить его форму и изготовить бумажную модель. Главное — учитывать не только количество и форму частей, но и то, как они соединены: грани должны сойтись без наложений и промежутков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Например, куб и призма являются многогранниками. Многоугольники образуют поверхность, а их расположение показывает, как устроено тело.
Грань — многоугольник, входящий в поверхность многогранника. Стороны граней являются рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами. При развёртывании каждая грань становится отдельной частью плоской фигуры, поэтому по граням можно восстановить строение тела.
Развёртка многогранника — плоская фигура из многоугольников, полученная, если разрезать поверхность по некоторым рёбрам и разложить её на плоскости. Грани при этом не отделяют друг от друга полностью: они остаются соединёнными сторонами. Это позволяет видеть, какие части будут соседними после складывания.
Сгиб развёртки — мысленное или реальное складывание плоской фигуры по линиям, соответствующим рёбрам. При правильном сгибании грани образуют исходный многогранник. Это понятие нужно, чтобы проверить, действительно ли данная фигура является его развёрткой.
Чтобы получить развёртку, поверхность многогранника разрезают по некоторым рёбрам и раскладывают грани на плоскости. Часть рёбер оставляют неразрезанными: по ним соседние грани удерживаются вместе. Если разрезать все рёбра, части поверхности разъединятся и не получится одна связная фигура. Поэтому нужно выбрать такие линии разреза, чтобы все грани можно было разложить рядом.
Обратный процесс — складывание — показывает, подходит ли развёртка для многогранника. По линиям соединения граней сгибают бумагу или мысленно поворачивают части, пока они не встанут вокруг тела. Это возможно, если стороны, которые должны встретиться, имеют подходящую длину и расположены напротив друг друга. Тогда грани образуют поверхность без отверстий.
Определять многогранник по развёртке удобно по форме и числу её частей. Например, шесть равных квадратов могут быть гранями куба, а два равных треугольника и три прямоугольника — гранями треугольной призмы. Но нужно проследить, как именно многоугольники соединены. Разные сочетания одних и тех же граней могут складываться в разные тела или вообще не складываться.
Для настоящей развёртки важны не только нужные многоугольники, но и их расположение. При сгибании каждая грань должна занять своё место на поверхности, а соединяемые рёбра — совпасть. Если две грани попадают на одно и то же место, они накладываются; если стороны не сходятся, остаётся незакрытая часть. По этой причине количество граней само по себе не доказывает, что перед нами развёртка.
Один многогранник можно разрезать по рёбрам несколькими способами, поэтому у него бывает несколько развёрток. Проверять предложенную фигуру удобнее, если представить её бумажной: вырезать, согнуть по линиям и посмотреть, сходятся ли нужные стороны. Мысленное складывание тоже помогает, но его стоит вести последовательно, отслеживая положение каждой грани. Так меньше риска ошибочно принять две части, соседние на плоскости, за соседние грани тела.
| Что сравниваем | Многогранник | Его развёртка |
|---|---|---|
| Вид фигуры | Пространственное тело | Плоская фигура |
| Из каких частей состоит поверхность | Из многоугольных граней | Из многоугольников, соответствующих граням |
| Как соединены грани | Общими рёбрами в пространстве | Общими сторонами на плоскости |
| Что происходит при складывании | Тело остаётся пространственным | Грани встают на места и образуют тело |
| Что нужно проверить | Состав поверхности и соединение граней | Совпадение нужных сторон, отсутствие наложений и отверстий |
Сравнивайте сначала форму и число граней, а затем — способ их соединения. Последняя строка напоминает о главной проверке: плоская фигура должна сложиться без наложений и незакрытых сторон.
Задача 1. Нарисовать развёртку куба и указать, какие стороны квадратов соединятся при складывании. У куба шесть одинаковых граней, значит, развёртка должна состоять из шести квадратов. Расположим четыре квадрата в ряд, один добавим над вторым, а ещё один — под вторым.
Задача 2. Дана фигура из двух равных треугольников и трёх прямоугольников. Может ли она быть развёрткой треугольной призмы? Сначала проверим состав граней: у такой призмы два основания-треугольника и три боковые грани-прямоугольника. Совпадение числа и формы — необходимое, но ещё не достаточное условие.
Задача 3. Даны несколько фигур из шести равных квадратов. Нужно выбрать те, из которых складывается куб, и объяснить, почему остальные не подходят. Каждая фигура содержит нужное число квадратов, но это ещё не означает, что все шесть станут разными гранями куба. Проверим каждую фигуру последовательным сгибанием.
Ошибка — считать развёрткой любую плоскую фигуру с нужными многоугольниками. Так рассуждают, потому что сначала легко проверить только форму и количество частей. Но при складывании грани могут попасть друг на друга или не закрыть тело. Проверьте фигуру сгибанием, а не только подсчётом граней.
Ошибка — не учитывать, какие стороны должны соприкоснуться после сгибания. Кажется, что достаточно видеть рядом нужные многоугольники, хотя их расположение определяет будущие рёбра. Если стороны не совпадут, грани не образуют поверхность многогранника. Проследите, какие именно линии соединятся в пространстве.
Ошибка — считать соседними на многограннике любые грани, нарисованные рядом на плоскости. На развёртке соседство означает соединение по стороне, но после сгиба части могут оказаться на разных местах тела. Ошибка возникает, когда не представляют поворот каждой грани. Сгибайте фигуру по очереди и отмечайте, какую грань вы подняли.
Ошибка — путать рёбра многогранника с линиями разреза. Ребро — сторона, общая для двух граней, а при развёртывании часть рёбер разрезают, часть оставляют соединениями. Их путают, потому что и те и другие линии видны на рисунке. Проверяйте, какие линии станут сгибами, а по каким поверхность была разрезана.
Для работы с развёртками нужно знать многоугольники, различать их стороны и вершины, а также понимать разницу между плоскими и пространственными фигурами. Тема продолжает изучение граней, рёбер и вершин многогранника: без этих понятий трудно проследить соединение частей. Развёртки используют при изготовлении моделей из бумаги и картона. Они также помогают находить площадь поверхности, складывая площади всех граней.
Что называют развёрткой многогранника?
Это плоская фигура из многоугольников, полученная разрезанием поверхности многогранника по некоторым рёбрам. Каждый многоугольник развёртки соответствует одной грани тела. При сгибании по линиям соединения граней можно восстановить многогранник.
Как понять, получится ли из фигуры развёртка куба?
У куба шесть одинаковых квадратных граней, поэтому в развёртке должны быть шесть квадратов. Затем нужно мысленно или на бумаге согнуть фигуру по соединительным линиям. Квадраты должны образовать все грани куба, не накладываясь и не оставляя незакрытых сторон.
Может ли у одного многогранника быть несколько развёрток?
Да, один и тот же многогранник можно разрезать по рёбрам разными способами. Поэтому его грани могут располагаться на плоскости по-разному. Например, существуют разные развёртки куба.
Почему фигура с нужным количеством граней иногда не складывается в многогранник?
Одного количества и формы многоугольников недостаточно: важно, какие стороны соединены и как расположены части. При сгибании грани могут наложиться друг на друга или некоторые стороны не сойдутся. Поэтому фигуру нужно проверять складыванием.
Зачем нужны развёртки многогранников?
С их помощью удобно рассматривать, из каких граней состоит поверхность тела и как эти грани соединяются. Развёртки используют, чтобы изготовить бумажные модели многогранников. Они также помогают находить площадь поверхности.
9.5. Развёртки многогранников
