9.6. Понятие о сечении многогранника

Определения и обозначения

Секущая плоскость — плоскость, которая пересекает многогранник. Она может пройти через его грани, пересечь рёбра или попасть в вершины. Это название помогает отличить плоскость, которая «режет» тело, от плоскостей, не имеющих с ним общих точек.

Сечение многогранника — фигура, полученная при пересечении многогранника секущей плоскостью. Иначе говоря, в сечение входят только те точки плоскости, которые находятся внутри тела или на его границе. Это определение позволяет не принимать за сечение всю плоскость.

Сторона сечения — отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань многогранника. Стороны показывают, как плоскость проходит по отдельным граням. По ним можно восстановить замкнутую границу полученной фигуры.

Вершина сечения — точка, в которой граница сечения переходит с одной грани многогранника на другую. Обычно она лежит на ребре, общем для этих граней, а иногда совпадает с вершиной многогранника. Это помогает понять, где соединять соседние стороны.

Как это устроено

Сечение возникает как общая часть многогранника и секущей плоскости. Плоскость продолжается бесконечно, но в сечение попадает не вся она, а только её часть внутри тела и на поверхности. Поэтому при построении нельзя проводить границу за пределами многогранника. Например, прямая пересечения плоскости с гранью может продолжаться дальше, но стороной сечения будет лишь её отрезок в пределах грани.

На каждой грани пересечение с секущей плоскостью может быть отрезком или одной точкой. Отрезок появляется, когда плоскость входит в грань через одну её часть и выходит через другую; точка — когда плоскость только касается грани, например в вершине. На соседних гранях получаются отрезки, которые встречаются на общем ребре. Так отдельные части границы стыкуются в единую фигуру.

Чтобы построить сечение, сначала отмечают заданные точки на рёбрах. Затем на грани, где находятся две известные точки, проводят отрезок: он является следом секущей плоскости на этой грани. Если отрезок доходит до общего ребра соседних граней, это ребро помогает перейти к следующей грани и продолжить построение. Такой порядок нужен, потому что точки на разных гранях нельзя просто соединить наугад: линия должна идти по поверхности каждой грани.

Граница сечения должна замкнуться, иначе какая-то её часть не построена. У выпуклого многогранника полученная фигура является выпуклым многоугольником: если соединить любые две точки внутри неё, весь отрезок останется внутри фигуры. Это происходит потому, что плоскость пересекает выпуклое тело без вогнутых участков. Стороны такого многоугольника лежат в гранях многогранника.

Число сторон сечения зависит от того, сколько граней пересекает плоскость. Оно не обязано равняться числу граней или рёбер многогранника: плоскость может пройти лишь через часть граней, а в отдельных случаях несколько точек или сторон могут совпасть. Поэтому форму сечения нельзя определить только по названию тела. Нужно учитывать положение секущей плоскости относительно его граней и рёбер.

Как устроено сечение многогранника

Таблица показывает, какую роль играют части многогранника при пересечении с плоскостью. Пользуйся ею как подсказкой во время построения: сначала найди точки на рёбрах, затем отыщи следы на гранях. После этого проверь, что все отрезки состыковались в замкнутую границу.

Разбор задач

Задача 1. В кубе проведите плоскость, параллельную грани ABCD, и определите форму сечения. Поскольку плоскость параллельна грани, она имеет ту же форму и направление сторон. Нужно проверить, как она пересекает боковые грани куба, чтобы увидеть, где замыкается граница.

1. Отметим, что грань ABCD — квадрат, а секущая плоскость ей параллельна.
2. На каждой боковой грани след плоскости параллелен соответствующему ребру грани ABCD. Эти четыре следа соединяются друг с другом и образуют замкнутый четырёхугольник.
3. У куба боковые рёбра равны, поэтому расстояния между параллельными гранями одинаковы. Полученный квадрат равен грани ABCD.

Ответ: сечение — квадрат, равный и параллельный грани ABCD. Здесь форма определяется параллельностью плоскости грани, а размер — равенством соответствующих измерений куба. Сечение не совпадает с гранью ABCD, если плоскость проходит внутри куба.

Задача 2. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер AB и BC. Постройте сечение плоскостью через M, N и вершину D₁. Начать нужно с грани ABC, где лежат M и N. Затем следует переходить на соседние грани через рёбра, на которых встречается след плоскости.

1. На грани ABCD проведём MN. Это сторона сечения, потому что обе точки лежат на этой грани.
2. На грани BCC₁B₁ продолжим след от N к точке пересечения с ребром CC₁. Точное положение точки определяем по направлению плоскости через M, N и D₁.
3. На грани, содержащей CC₁ и D₁, продолжим след до D₁. Затем перейдём на верхнюю грань и на боковую грань у ребра AA₁, находя очередную точку пересечения.
4. Продолжим построение по соседним граням, пока линия не вернётся к M. Проверим, что каждый отрезок лежит в одной грани и все концы состыкованы.

Ответ: граница сечения проходит через M, N, точку на CC₁, D₁ и точку на AA₁, после чего возвращается к M. Так получается замкнутый многоугольник. При построении важно учитывать не только заданные точки, но и след плоскости на каждой следующей грани.

Задача 3. В кубе отметьте точки M на ребре AB, N на ребре BC и K на ребре AA₁; точки не являются вершинами. Постройте сечение плоскостью MNK. Точки M и N принадлежат одной грани ABCD, поэтому построение можно начать именно там. В отличие от задачи с заранее заданной вершиной, здесь расположение K влияет на то, какие другие грани пересечёт плоскость.

1. На грани ABCD проведём MN. Это первый след секущей плоскости и сторона сечения.
2. На грани ABB₁A₁ проведём след через M и K. Проследим, на каком общем ребре он встречает соседнюю грань, и отметим точку перехода.
3. Перейдём на эту соседнюю грань и построим следующий отрезок плоскости. Если на ней есть ещё одна известная точка или точка пересечения с ребром, используем её для определения следа.
4. Будем переходить с грани на грань через общие рёбра, пока линия не вернётся к MN. Полученные точки соединим в том порядке, в котором они встречаются на гранях.

Ответ: сечение строится последовательным проведением следов плоскости MNK на гранях куба до замыкания многоугольника. Его точный вид зависит от расположения M, N и K. Для проверки убедись, что каждая сторона лежит на грани, а соседние стороны встречаются на общем ребре.

Типичные ошибки

• Соединять точки, лежащие на разных гранях, напрямую. Так поступают, когда видят только конечные точки и не учитывают поверхность тела; полученный отрезок может пройти внутри грани или тела, а не по стороне сечения. Проверь себя: у каждого отрезка сечения должна быть одна грань, на которой он лежит.

• Останавливать построение на ребре. Ребро служит местом перехода следа с одной грани на соседнюю, поэтому достигнутую точку обычно нужно продолжить через него. Ошибка возникает, если принять найденную точку за конец всей границы; проверь, осталась ли непересечённая соседняя грань и замкнулась ли фигура.

• Считать, что сечение всегда подобно грани многогранника. Это предположение кажется удобным, если тело имеет простые грани, но плоскость может пересечь их под разными углами. Сравни положение плоскости с гранями и проследи все её следы: форма определяется именно ими.

• Не проверять, замкнулась ли граница. Незамкнутая цепочка обычно означает, что пропущен след на одной из граней или неверно выбран переход через ребро. Пройди построение по кругу ещё раз и проверь, что последний отрезок соединяется с первым без разрыва.

Связь с другими темами

Для построения сечения нужно узнавать грани, рёбра и вершины многогранника. Ещё пригодится умение изображать пересечение двух плоскостей на плоском чертеже: их следы помогают продолжать построение с одной грани на другую. Позже сечения будут нужны при изучении пространственных фигур, их свойств и задач на построение. С помощью сечений также можно находить фигуры, площади которых требуется вычислить.

Что запомнить

• Сечение — общая часть многогранника и секущей плоскости.
• Граница сечения состоит из отрезков, лежащих на гранях многогранника.
• Вершины сечения находятся на рёбрах многогранника или совпадают с его вершинами.
• При построении соединяют точки только в пределах одной грани.
• Следы плоскости на соседних гранях должны состыковываться на их общем ребре.
• У выпуклого многогранника сечение — выпуклый многоугольник.