5.6. Длина отрезка

Определения и обозначения

Длина отрезка — расстояние между его концами. Она показывает, насколько далеко одна конечная точка от другой. Для измерения выбирают единицу, например сантиметр или метр, и сравнивают отрезок с этой единицей. При смене единицы числовое значение длины изменится, но само расстояние останется тем же.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Например, на координатной прямой единичный отрезок может иметь длину 1 см. Чтобы измерить другой отрезок, выясняют, сколько таких единичных отрезков в нём содержится. Так длина выражается числом и становится удобной для сравнения и вычислений.

Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, направление и единичный отрезок. Каждой точке на ней соответствует число — координата: она показывает положение точки относительно начала отсчёта. Числа справа от начала положительные, а слева — отрицательные. Координаты помогают находить расстояние между точками вычислением, не измеряя отрезок линейкой.

Как это устроено

Единичный отрезок служит меркой: мы сравниваем с ним расстояние между концами и считаем, сколько таких единиц укладывается в отрезке. Если мерка выбрана иначе, меняется число, которым записана длина, но не само расстояние. Например, один и тот же отрезок можно измерить в сантиметрах или миллиметрах. Поэтому при записи результата нужно учитывать, какая единица выбрана.

На координатной прямой расстояние между точками с координатами x₁ и x₂ равно |x₂ − x₁|. Вычитание показывает, на сколько единичных шагов координаты отличаются друг от друга. Но результат зависит от порядка вычитания: он может быть отрицательным, если первой записана большая координата. Модуль убирает знак и оставляет величину разности, которая соответствует неотрицательной длине.

Если координаты расположены в известном порядке возрастания, например x₁ меньше x₂, длина равна x₂ − x₁. Это тот же расчёт без модуля: из координаты точки правее вычитают координату точки левее. При отрицательных координатах правило не меняется. Главное — определить, какая координата больше, а не смотреть на знак числа.

Если известны длина отрезка и координата одного конца, второй конец может находиться по разные стороны от первой точки. Для координаты x и длины d возможны значения x + d и x − d. Одно получается, если отложить расстояние вправо, другое — если влево. Если длина равна нулю, оба выражения дают одну и ту же координату.

Проверка помогает заметить ошибки со знаками. Вычисленная длина должна быть неотрицательной, а после перестановки координат расстояние не должно измениться. Если найден второй конец, разность его координаты и координаты известного конца по модулю должна равняться заданной длине. Эти проверки подтверждают, что найдено именно расстояние, а не направленное изменение координаты.

Длина отрезка на координатной прямой

Сначала определите, какие данные известны: обе координаты, их порядок или длина и координата одного конца. Затем выберите соответствующее правило из таблицы. В конце проверьте знак результата и, если нужно, подставьте найденные координаты в формулу длины.

Разбор задач

Задача 1

На координатной прямой отмечены точки A(−3) и B(5). Найдите длину отрезка AB. Координаты находятся по разные стороны от нуля, поэтому удобно сравнить их и вычесть меньшую из большей. Длина должна получиться неотрицательной.

1. Сравним координаты: −3 меньше 5, значит, точка A расположена левее точки B.
2. Вычтем меньшую координату из большей: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
3. Проверим по формуле: |5 − (−3)| = |8| = 8.

Ответ: длина отрезка AB равна 8 единицам.

Задача 2

Длина отрезка AB равна 4, координата точки A равна −2. Найдите возможные координаты точки B. Заданное расстояние можно отложить от A в обе стороны по координатной прямой. Поэтому нужно рассмотреть два направления, а не только прибавление длины.

1. Если двигаться от координаты −2 вправо на 4 единицы, получим −2 + 4 = 2.
2. Если двигаться влево на 4 единицы, получим −2 − 4 = −6.
3. Проверим оба варианта: |2 − (−2)| = 4 и |−6 − (−2)| = 4.

Ответ: координата точки B может быть равна 2 или −6.

Задача 3

Точки A и B имеют координаты −7 и 2, а точка C лежит между ними. Известно, что AC = 6. Найдите координату C и длину CB. Поскольку C находится между A и B, она расположена правее точки A. Значит, от координаты A нужно двигаться вправо на шесть единиц.

1. Порядок точек на прямой такой: A(−7), затем C, затем B(2).
2. Найдём координату C: −7 + 6 = −1. Она действительно находится между −7 и 2.
3. Найдём CB: из большей координаты 2 вычтем меньшую −1, получим 2 − (−1) = 3.

Ответ: координата точки C равна −1, длина отрезка CB равна 3 единицам.

Типичные ошибки

Иногда координаты вычитают в произвольном порядке и принимают отрицательный результат за длину. Так происходит, если забыть, что вычитание зависит от порядка чисел. Длина должна быть неотрицательной, поэтому используйте модуль разности или вычитайте меньшую координату из большей. Для проверки поменяйте порядок координат: расстояние не должно измениться.

Можно ошибочно решить, что при перестановке концов отрезок становится другой длины. Причина — в том, что выражения x₂ − x₁ и x₁ − x₂ имеют противоположные знаки. Но после взятия модуля их значения одинаковы: |x₂ − x₁| = |x₁ − x₂|. Проверьте расчёт, записав координаты в обратном порядке.

При поиске второго конца по известной длине иногда учитывают только одно направление от первой точки. Тогда находится лишь один из возможных вариантов. Отложите длину и вправо, и влево, то есть вычислите x + d и x − d. Проверьте оба ответа: модуль разности координат в каждом случае должен быть равен d.

Координату точки иногда путают с длиной отрезка. Координата может быть отрицательной, потому что точка находится слева от начала отсчёта, а длина отрицательной не бывает. Проверяйте, что именно требуется найти: положение точки или расстояние между точками. В задаче на длину результат должен быть числом не меньше нуля.

Связь с другими темами

Для работы с длинами на прямой нужно уметь отмечать числа и сравнивать положительные и отрицательные числа. Модуль числа помогает получить неотрицательное расстояние из разности координат. Эти знания пригодятся при изучении координатной плоскости: там также задают положение точек числами. Правило вычисления расстояния полезно и в других задачах, где нужно определить, насколько далеко друг от друга расположены объекты.

Что запомнить

• Длина отрезка — неотрицательное число.
• На координатной прямой длина отрезка между точками равна модулю разности их координат.
• Для координат x₁ и x₂ длина равна |x₂ − x₁|.
• Если известен порядок координат, из большей координаты можно вычесть меньшую.
• При перестановке концов длина отрезка не меняется.
• По заданной длине и координате одного конца обычно можно найти два положения другого конца.