5.5. Действительные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 3/4 и −2 рациональны, потому что −2 можно записать как −2/1. Рациональными также являются конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби с периодом.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби m/n с целыми m и n и ненулевым n. Его десятичная запись бесконечна и не повторяется периодически, как, например, у √2. Это определение помогает отличить числа, которые не выражаются обыкновенной дробью, от рациональных.

Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе. Множество действительных чисел обозначают буквой R. Такое общее название удобно, когда речь идёт о любых числах, которые можно отметить на числовой прямой.

Числовая прямая — это прямая, точкам которой взаимно однозначно соответствуют действительные числа. Это означает, что каждому числу соответствует одна точка, а каждой точке — одно число, называемое её координатой. Благодаря этому числа можно изображать точками и сравнивать по их положению на прямой.

Как это устроено

Рациональные числа не заполняют всю числовую прямую, потому что существуют величины, которые нельзя точно выразить дробью. Например, диагональ квадрата со стороной 1 равна √2. Если бы её длину можно было записать дробью, число √2 было бы рациональным, но оно иррационально. Значит, одних рациональных чисел недостаточно, чтобы описать все точки прямой.

Иррациональные числа появляются при измерении длин и других величин. У диагонали единичного квадрата длина √2, и никакая конечная запись вроде 1,41 не передаёт её точно. Десятичное приближение можно продолжать: 1,414…, 1,4142…; каждая новая цифра уточняет значение, но запись всё равно не становится точной конечной дробью. Поэтому приближение полезно для вычислений, но его нельзя путать с самим числом.

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Каждое действительное число относится ровно к одному из этих двух видов: оно либо представимо дробью m/n, либо не представимо. Такое объединение нужно, чтобы описать числа, соответствующие всем точкам числовой прямой, а не только значениям, которые можно записать обыкновенными дробями.

Связь чисел с прямой устроена взаимно однозначно. Числу соответствует точка, положение которой задаётся координатой; точке, в свою очередь, соответствует ровно одно число. Поэтому, сравнивая числа, можно сравнить расположение их точек: число, расположенное правее, больше числа, расположенного левее. Так числовая прямая превращает сравнение чисел в наглядное сравнение мест.

Иррациональное число можно приблизительно расположить на прямой по его десятичной записи. Например, если число находится между 1,4 и 1,5, сначала отмечают эти десятые доли, а затем уточняют место по следующему разряду. Можно также определить, между какими рациональными числами оно находится, сравнив его с ними. Так точку удаётся локализовать всё точнее, даже если точное значение не записывается конечной десятичной дробью.

Рациональные, иррациональные и действительные числа

Сравнивайте числа в таблице по строкам: запись дробью отличает рациональные числа, а вид десятичной записи помогает распознать их без преобразований. В столбце действительных чисел объединены оба вида. Строка о числовой прямой показывает, что точку на ней имеет любое действительное число.

Разбор задач

Задача 1

Распределите числа 3/4, −2, 0, √2 и 0,333… на рациональные и иррациональные. Начнём с проверки, какие числа можно представить обыкновенной дробью. Это надёжнее, чем судить только по внешнему виду числа.

1. Число 3/4 уже записано дробью с целыми числителем и знаменателем, поэтому оно рациональное.
2. Числа −2 и 0 — целые, а их можно записать как −2/1 и 0/1. Значит, они рациональные.
3. Запись 0,333… бесконечна, но цифра 3 повторяется периодически. Это число равно 1/3, поэтому оно рациональное.
4. Число √2 нельзя представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем; это иррациональное число.

Ответ: рациональные числа — 3/4, −2, 0 и 0,333…; иррациональное число — √2.

Задача 2

Определите, между какими последовательными целыми числами находится √10. Корень удобно сравнивать с целыми числами через квадраты, потому что квадратный корень и возведение в квадрат связаны обратным образом. Сначала подберём целые числа, квадраты которых окружают 10.

1. Возьмём соседние целые числа 3 и 4. Их квадраты равны 3² = 9 и 4² = 16.
2. Сравним числа: 9 < 10 < 16, то есть 3² < 10 < 4².
3. Для неотрицательных чисел большему квадрату соответствует больший корень, поэтому из сравнения следует 3 < √10 < 4.
4. Проверим смысл результата: √10 больше √9 = 3, но меньше √16 = 4.

Ответ: √10 находится между 3 и 4. Приблизительно √10 ≈ 3,16, но это значение является приближением, а не точной записью корня.

Задача 3

Расположите на числовой прямой числа 1,4, √2 и 1,5, а затем укажите их порядок. Два числа уже записаны десятичными дробями, поэтому достаточно сравнить их с приближением корня. У всех чисел совпадает целая часть, и решающими будут десятые и сотые доли.

1. Используем приближение √2 ≈ 1,41. Оно показывает, что √2 немного больше 1,4.
2. Сравним 1,41 и 1,5, записав последнее с двумя знаками после запятой: 1,50. Поскольку 1,41 < 1,50, корень меньше 1,5.
3. На прямой сначала отметим 1,4, затем точку √2 примерно у 1,41, а правее — 1,5.
4. Проверим порядок слева направо: числа расположены от меньшего к большему.

Ответ: 1,4 < √2 < 1,5. Точка √2 стоит между отметками 1,4 и 1,5, близко к 1,4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Так бывает, если замечают бесконечное число цифр, но не проверяют, повторяется ли часть записи. Например, 0,333… бесконечна, однако периодична и равна 1/3. Проверьте, есть ли повторяющийся блок цифр: если есть, число рационально.

Ошибка: принимать приближение иррационального числа за точное значение. Запись √2 ≈ 1,41 означает, что число близко к 1,41, а не равно ему. Такое смешение возникает, когда знак приближённого равенства читают как знак равенства. Для проверки помните: 1,41 — рациональное число, а √2 — иррациональное.

Ошибка: считать действительными только рациональные числа. В таком случае теряются числа вроде √2, которые нельзя записать дробью, но можно расположить на прямой. Причина часто в том, что сначала изучают дроби и целые числа. Проверяйте определение: действительные числа включают и рациональные, и иррациональные.

Ошибка: путать число с соответствующей ему точкой на прямой. Число задаёт координату точки, но не является самой точкой: это разные объекты, связанные между собой. Путаница возникает из-за того, что число и точку часто обозначают одинаково. Чтобы проверить себя, называйте число координатой, а место на прямой — точкой.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об обыкновенных и десятичных дробях, целых числах и координатах точек на числовой прямой. Они помогают распознавать рациональные числа, понимать десятичную запись и сравнивать значения по положению точек. Если запись числа вызывает сомнение, вспомните, как переводить конечные и периодические десятичные дроби в обыкновенные. Дальше понятие действительного числа понадобится при изучении квадратных корней, сравнении чисел и решении уравнений.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где n ≠ 0.
• Целые числа и конечные десятичные дроби рациональны.
• Бесконечная периодическая десятичная дробь рациональна.
• Иррациональное число нельзя представить в виде дроби m/n.
• Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.