"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Десятичная запись числа может не заканчиваться. Если после запятой цифра или группа цифр повторяется бесконечно, дробь периодическая; если повторяющегося периода нет — непериодическая. Это различие помогает понять, какие числа можно записать обыкновенной дробью. Рациональные числа имеют конечную или периодическую десятичную запись, а иррациональные — бесконечную непериодическую. Умение распознавать эти записи пригодится при сравнении чисел и работе с приближёнными значениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бесконечная десятичная дробь — это запись числа, в которой цифры после запятой не заканчиваются. Например, в записи 0,333… многоточие показывает, что цифры продолжаются. Это понятие нужно, чтобы отличать такие записи от дробей с последней цифрой после запятой.
Периодическая бесконечная десятичная дробь — бесконечная запись, в которой цифра или группа цифр повторяется без конца. Повторяющуюся группу называют периодом: у дроби 0,272727… период равен 27. Это название помогает коротко описывать бесконечное повторение.
Непериодическая бесконечная десятичная дробь — бесконечная запись, в которой нет группы цифр, повторяющейся бесконечно. Например, десятичная запись √2 непериодична. Понятие нужно, чтобы отличать такие числа от бесконечных, но периодических дробей.
Иррациональное число нельзя представить в виде обыкновенной дроби, то есть отношения двух целых чисел. Его десятичная запись бесконечна и непериодична; примеры — √2 и π. Так связываются два способа описания одного числа: обыкновенной дробью и десятичной записью.
При делении числителя на знаменатель получают цифры после запятой и остатки. Если в какой-то момент остаток становится нулём, деление заканчивается и десятичная запись конечна. Если остаток не равен нулю, деление можно продолжать дальше. Так становится понятно, почему у одной дроби запись заканчивается, а у другой может продолжаться.
Любую конечную десятичную дробь можно записать обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, 0,375 = 375/1000 = 3/8. Знаменатель выбирают по числу цифр после запятой: здесь их три, поэтому сначала берут 1000. Значит, конечная десятичная дробь всегда является рациональным числом.
У рационального числа при делении с остатком возможны только остатки от нуля до числа, на единицу меньшего делителя. Если остаток стал нулём, цифры после запятой закончились. Если остаток повторился, дальнейшие действия деления повторятся точно так же, поэтому начнут повторяться и цифры. Отсюда следует, что запись рационального числа конечна или периодична.
Есть числа, десятичная запись которых бесконечна и не имеет периода. Например, √2 приблизительно равно 1,414213…, а π — 3,141592… Такие числа называют иррациональными: их нельзя представить обыкновенной дробью. Многоточие показывает продолжение записи, но само по себе не доказывает, что периода нет; для этого требуется математическое обоснование.
Бесконечная запись ещё не означает, что число иррациональное. Например, 0,333… не заканчивается, но цифра 3 повторяется бесконечно, а число равно 1/3. Поэтому рациональные и иррациональные числа различают не по одной только длине записи. Нужно выяснить, заканчивается ли она, повторяется ли период или повторяющегося периода нет.
| Вид записи | Как устроена запись | Пример | Связь с рациональными и иррациональными числами |
|---|---|---|---|
| Конечная десятичная дробь | После запятой есть последняя цифра. | 0,375 | Рациональное число. |
| Бесконечная периодическая дробь | Цифра или группа цифр повторяется бесконечно. | 0,272727… | Рациональное число. |
| Бесконечная непериодическая дробь | Запись не заканчивается, повторяющегося периода нет. | √2 = 1,414213… | Иррациональное число. |
Сначала определите, заканчивается ли запись, затем проверьте, повторяется ли в ней период. Первые две строки таблицы относятся к рациональным числам, а третья — к иррациональным. По нескольким цифрам нельзя надёжно установить, что период отсутствует.
Задача 1. Определите, является ли запись 0,375 конечной десятичной дробью, и представьте её в виде обыкновенной дроби. Здесь после запятой записаны три цифры, поэтому запись имеет последний знак. Теперь переведём её в обыкновенную дробь и сократим результат.
Ответ: 0,375 — конечная десятичная дробь; 0,375 = 3/8.
Задача 2. Установите, периодична ли дробь 0,272727… и укажите её период. Многоточие означает, что цифры продолжаются, поэтому запись бесконечна. Нужно проверить не одну цифру отдельно, а повторяющуюся группу.
Ответ: дробь периодическая, её период — 27.
Задача 3. Сравните √2 с 1,4 и 1,5, используя их квадраты; объясните, почему запись √2 относят к непериодическим. Сначала найдём границы числа, сравнив квадраты десятичных чисел с 2. Для вывода о непериодичности одной такой оценки недостаточно: понадобится свойство иррациональных чисел.
Ответ: 1,4 < √2 < 1,5; запись √2 бесконечна и непериодична.
Ошибка: считать любую бесконечную дробь непериодической. Бесконечная запись может быть периодической, как 0,333… . Путают эти виды, потому что оба продолжаются после запятой. Проверьте, повторяется ли цифра или группа без конца.
Ошибка: считать несколько повторившихся цифр доказательством периода. В начале записи цифры могут совпасть, а дальше измениться. Период должен повторяться бесконечно, а не только несколько раз подряд. По короткому отрезку записи нельзя достоверно подтвердить период.
Ошибка: принимать за период только первую цифру после запятой. Периодом может быть не одна цифра, а целая группа: например, в 0,272727… период — 27. Ошибка возникает, если смотреть на цифры по отдельности. Проверяйте, какая самая короткая группа повторяется снова и снова.
Ошибка: называть непериодической дробью любую длинную запись. Длина сама по себе ничего не говорит о наличии периода: длинная запись может повторяться. Чтобы проверить себя, выясните, заканчивается ли запись и есть ли в ней повторяющаяся бесконечно группа. Если вы видите только несколько знаков, делать окончательный вывод нельзя.
Для этой темы понадобятся знания об обыкновенных и десятичных дробях, делении с остатком и значении запятой в десятичной записи. При делении с остатком видно, почему цифры могут закончиться или начать повторяться. Новые понятия помогают различать рациональные и иррациональные числа. Дальше это различие пригодится при расположении чисел на числовой прямой и использовании приближённых значений.
Чем бесконечная десятичная дробь отличается от конечной?
У конечной десятичной дроби после запятой есть последняя цифра, например 0,375. У бесконечной десятичной записи цифры после запятой не заканчиваются: например, 0,333…
Как понять, что дробь периодическая?
Нужно установить, повторяется ли одна и та же цифра или группа цифр снова и снова без конца. Например, в записи 0,272727… повторяется группа 27, поэтому её период — 27.
Может ли бесконечная дробь быть рациональным числом?
Да. Например, 0,333… — бесконечная периодическая дробь, равная обыкновенной дроби ⅓. Рациональные числа могут иметь как конечную, так и периодическую бесконечную запись.
Почему √2 нельзя записать конечной десятичной дробью?
√2 — иррациональное число, поэтому его десятичная запись бесконечна и непериодична. Конечную десятичную дробь всегда можно представить обыкновенной дробью, а √2 обыкновенной дробью представить нельзя.
Можно ли по нескольким цифрам после запятой доказать, что дробь непериодическая?
Нет. Даже если первые цифры не повторяются, дальше может начаться период. Чтобы доказать непериодичность, нужно обосновать её для всей бесконечной записи, а не только для нескольких выписанных цифр.
5.4. Непериодические бесконечные десятичные дроби
