5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Определения и обозначения

Периодическая десятичная дробь — это запись, в которой после некоторого места бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Повторяющуюся группу заключают в круглые скобки: например, 0,1666… записывают как 0,1(6). Такая запись короче и показывает, что цифра 6 повторяется без конца.

Период десятичной дроби — наименьшая группа цифр, которая повторяется снова и снова. Например, в числе 0,1(6) период состоит из одной цифры 6, а в 0,(27) — из двух цифр 27. Период нужно находить целиком: если повторяется несколько цифр подряд, нельзя обозначить скобками только одну из них.

Предпериод — это цифры после запятой, которые стоят перед началом периода. В записи 0,12(3) предпериодом служат цифры 12, а периодом — цифра 3. Это понятие помогает точно указать, с какого места начинается повторение, ведь оно не всегда начинается сразу после запятой.

Как это устроено

При делении числителя на знаменатель в столбик после каждого шага получается остаток. Остаток всегда неотрицателен и меньше знаменателя: иначе можно было бы ещё раз вычесть знаменатель. Поэтому вариантов остатка всего конечное число — от нуля до числа, на единицу меньшего знаменателя. Это ограничение и объясняет, почему у бесконечного деления возникают повторения.

Если очередной остаток стал равен нулю, дальше делить нечего: результат уже получен. Например, при делении 3 на 8 после трёх цифр после запятой остаток обнуляется, поэтому 3/8 = 0,375. В столбик это происходит потому, что числитель вместе с добавленными нулями на одном из шагов делится на знаменатель без остатка. Такой десятичный результат называется конечным.

Если деление не заканчивается, нулевого остатка не будет, но возможных ненулевых остатков ограниченное количество. Значит, рано или поздно один остаток встретится повторно. При одном и том же остатке следующий шаг деления даёт ту же цифру и снова тот же новый остаток, поэтому все последующие шаги повторяются в прежнем порядке. Так остатки объясняют появление бесконечно повторяющихся цифр.

Период начинается не обязательно сразу после запятой. Когда повторный остаток впервые возникает, цифры, полученные после его первого появления, начинают повторять прежнюю последовательность; цифры до начала этой группы составляют предпериод. Например, при делении 1 на 6 сначала получается цифра 1 и остаток 4, а затем из остатка 4 снова получается цифра 6 и остаток 4. Поэтому запись равна 0,1(6): цифра 1 — предпериод, а 6 — период.

Вид записи можно заранее предсказать по знаменателю, если дробь несократима. Чтобы получить конечную запись, знаменатель должен делить число вида 10, 100, 1000 и так далее; такие числа состоят только из множителей 2 и 5. Поэтому знаменатель с одними лишь множителями 2 и 5 даёт конечную дробь, а наличие любого другого простого множителя не позволяет деление завершить. Тогда десятичная запись будет бесконечной периодической.

Виды десятичных разложений обыкновенных дробей

Сначала убедись, что дробь несократима, затем разложи её знаменатель на простые множители. По таблице можно определить вид записи, не выполняя деление полностью. Если запись периодическая, деление в столбик поможет найти её период и предпериод.

Разбор задач

Представьте дробь 3/8 в виде десятичной дроби.

Нужно разделить числитель на знаменатель и следить за остатком. Если остаток обнулится, запись окажется конечной. Выполним деление в столбик, приписывая к остатку нули после запятой.

1. 8 не помещается в 3 целых раз, поэтому ставим 0 и запятую, а к 3 приписываем ноль: получаем 30.
2. 30 : 8 = 3, остаток 6; записываем цифру 3 и приписываем к остатку ноль.
3. 60 : 8 = 7, остаток 4; затем 40 : 8 = 5, остаток 0. Деление закончилось.

Полученные цифры после запятой — 375, значит, 3/8 = 0,375. Нулевой остаток подтверждает, что десятичная запись конечна. Ответ: 0,375.

Представьте дробь 5/6 в виде десятичной дроби и укажите период и предпериод.

При делении сначала проверяем, сколько раз 6 помещается в 5 целых. Затем продолжаем делить остаток, каждый раз дописывая ноль. Повторившийся остаток покажет, где начинается повторение цифр.

1. В целой части получается 0; после запятой делим 50 на 6. Получаем цифру 8 и остаток 2.
2. К остатку 2 приписываем ноль: 20 : 6 = 3, остаток 2.
3. Остаток 2 повторился, поэтому дальше снова будут получаться цифра 3 и остаток 2. Записываем 5/6 = 0,8(3).

До повторяющейся цифры стоит 8, поэтому это предпериод. Период — цифра 3, заключённая в скобки. Ответ: 0,8(3), предпериод 8, период 3.

Не выполняя деление, определите, будет ли десятичное разложение дроби 7/30 конечным или периодическим; затем запишите его.

Сначала проверим, можно ли сократить дробь: у 7 и 30 нет общего делителя, кроме 1. Разложение знаменателя: 30 = 2 · 3 · 5, поэтому в нём есть множитель 3, отличный от 2 и 5. Значит, запись будет бесконечной периодической; деление нужно для того, чтобы её записать.

1. Делим 7 на 30: после запятой 70 : 30 = 2, остаток 10.
2. Приписываем к остатку ноль: 100 : 30 = 3, остаток 10.
3. Остаток 10 повторился, значит, цифра 3 будет повторяться. Получаем 7/30 = 0,2(3).

Цифра 2 стоит до начала периода, а цифра 3 образует период. Ответ: запись бесконечная периодическая, 7/30 = 0,2(3).

Типичные ошибки

Ошибка: считать периодом одну цифру, хотя повторяется группа из нескольких. Это случается, если смотреть только на начало записи, а не на дальнейшую последовательность. Сверь несколько повторов: например, 0,(27) означает 0,272727…, и период здесь состоит из цифр 27.

Ошибка: начинать период сразу после запятой. Иногда перед повторением появляются цифры предпериода, как в 0,1(6). Чтобы проверить себя, проследи остатки при делении: цифры, полученные до возвращения остатка, могут не повторяться.

Ошибка: делать вывод по знаменателю дроби, которую ещё можно сократить. При сокращении знаменатель меняется, поэтому и проверка его множителей может дать другой результат. Сначала найди общий делитель числителя и знаменателя и сократи дробь, а уже потом раскладывай знаменатель.

Ошибка: считать, что любой знаменатель с множителем 2 или 5 даёт конечную запись. Такой вывод верен только тогда, когда других простых множителей нет; например, в 6 = 2 · 3 есть ещё множитель 3, поэтому 1/6 имеет период. Проверь все множители знаменателя, а не только наличие 2 или 5.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в периодическом разложении, нужно уметь делить натуральные числа с остатком и выполнять деление в столбик. Также понадобятся сокращение обыкновенных дробей и разложение натуральных чисел на простые множители. Эти действия помогают не только получить десятичную запись, но и заранее определить её вид. Позже умение переводить дроби в десятичную форму пригодится при сравнении обыкновенных и десятичных дробей, а также при работе с рациональными числами.

Что запомнить

• При делении с ненулевым остатком остатки рано или поздно повторяются.
• Повторение остатка приводит к повторению цифр десятичного разложения.
• Период — наименьшая повторяющаяся группа цифр.
• Цифры до начала периода образуют предпериод.
• Для несократимой дроби конечная десятичная запись возможна тогда и только тогда, когда знаменатель имеет только простые множители 2 и 5.
• Знаменатель с другими простыми множителями даёт бесконечное периодическое разложение.