5.2. Бесконечные периодические десятичные дроби

Определения и обозначения

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это бесконечная запись числа, в которой цифры после запятой начиная с некоторого места повторяются. Многоточие показывает, что запись продолжается без конца: 0,272727… . Вместо длинной последовательности удобно пользоваться скобками и указывать только повторяющуюся группу.

Период десятичной дроби — группа цифр, которая повторяется бесконечно. Например, в записи 0,(27) период — 27, а сама запись означает 0,272727… . Скобки помогают сразу увидеть повторяющиеся цифры и восстановить всю бесконечную последовательность.

Чистая периодическая дробь — дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Например, 0,(36) означает 0,363636…; первая цифра после запятой уже принадлежит периоду. Такое название помогает отличить дробь без начальной непериодической части.

Смешанная периодическая дробь — дробь, у которой перед периодом после запятой стоят цифры, не входящие в повторение. Например, 0,8(3) означает 0,8333…: цифра 8 непериодическая, а период 3 начинается после неё. Такое обозначение отдельно показывает начальную часть и повторяющуюся группу.

Как это устроено

При делении числа на другое можно продолжать деление после запятой, каждый раз находя очередную цифру частного и новый остаток. Остаток показывает, какая часть делимого ещё не разделена, поэтому от него зависит следующий шаг. Остатков не может быть бесконечно много: при делении на число d возможны только остатки от 0 до d − 1. Значит, либо остаток станет равен нулю, либо один из остатков встретится повторно.

Если остаток равен нулю, деление заканчивается: дальше цифр, отличных от нуля, не будет. Если же остаток повторился, дальнейшие действия снова будут точно такими же, как в прошлый раз. Из одинаковых действий получаются одинаковые следующие цифры частного. Поэтому после повторившегося остатка начинает повторяться и группа цифр, а десятичная запись становится периодической.

Чистая и смешанная дроби различаются не длиной периода, а местом, с которого начинается повторение. Если повторяющиеся цифры идут сразу после запятой, дробь чистая. Если сначала появляются цифры, которые не повторяются вместе с периодом, дробь смешанная. Например, в 0,(27) повторение начинается сразу, а в 0,8(3) сначала стоит непериодическая цифра 8.

Чтобы записать период, заключи в скобки всю группу, которая повторяется, и поставь скобки сразу после непериодической части, если она есть. Например, 0,363636… превращается в 0,(36), а 0,8333… — в 0,8(3). При чтении записи раскрой скобки и повторяй заключённую в них группу без конца: так можно восстановить десятичную последовательность.

Конечная десятичная дробь тоже допускает бесконечную запись, если после последней цифры приписать нули. Например, 0,5 = 0,5000… . В такой записи постоянно повторяется цифра 0, поэтому её можно представить в виде 0,5(0). Однако обычно конечную дробь оставляют в короткой форме, а запись с нулями используют, чтобы показать возможность продолжить десятичную последовательность.

Виды бесконечных периодических десятичных дробей

Чтобы определить вид дроби, найди скобки и посмотри, есть ли перед ними цифры после запятой. Если таких цифр нет, дробь чистая; если есть — смешанная. Скобки в обоих случаях указывают именно на период.

Разбор задач

Задача 1

Запишите дробь 0,363636… с помощью скобок и назовите её период. Нужно найти группу цифр, которая повторяется целиком, а не отдельную цифру. Затем следует перенести эту группу в скобки.

1. Сравним цифры подряд: после запятой идут 3, 6, затем снова 3, 6.
2. Повторяется группа 36: запись продолжается как 36, 36, 36 и так далее.
3. Заключим всю группу в скобки: 0,(36). Повторение начинается сразу после запятой.

Ответ: 0,(36), период — 36. Это чистая периодическая дробь, потому что перед периодом нет непериодических цифр.

Задача 2

При делении 5 на 6 получаются цифры 0,8333… . Запишите результат с помощью скобок и определите вид дроби. Здесь нужно не принять первую цифру после запятой за часть периода: повторяется не вся последовательность 83, а только цифра 3.

1. Рассмотрим запись после запятой: сначала стоит 8, затем идут повторяющиеся цифры 3.
2. Цифра 8 не повторяется, поэтому она остаётся перед скобками.
3. Заключим повторяющуюся цифру в скобки: 0,8(3). Поскольку до периода есть цифра 8, дробь смешанная.

Ответ: 5 : 6 = 0,8(3); период — 3, дробь смешанная.

Задача 3

При делении 7 на 12 выпишите несколько шагов деления с остатками и объясните, почему десятичная запись становится периодической. Запишем частное, каждый раз умножая остаток на 10 и деля результат на 12. Повтор остатка подскажет, откуда снова начнут получаться те же цифры.

1. 7 меньше 12, поэтому целая часть частного равна 0. Для первой цифры после запятой делим 70 на 12: получаем 5, остаток 10.
2. Для следующей цифры делим 100 на 12: получаем 8, остаток 4. Пока частное имеет вид 0,58… .
3. Умножаем остаток 4 на 10: 40 : 12 = 3, остаток снова 4. Значит, дальше опять получим цифру 3 и остаток 4.
4. Остаток 4 будет повторяться, поэтому цифра 3 тоже будет повторяться бесконечно. Записываем результат как 0,58(3).

Ответ: 7 : 12 = 0,58(3). Повтор остатка 4 приводит к повторению цифры 3, поэтому запись периодическая и смешанная.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать периодом только одну цифру, хотя повторяется группа. Так бывает, если смотреть лишь на первые две цифры записи и не проверить, что идёт дальше. Проследи, какой блок воспроизводится целиком: например, в 0,272727… период — 27, а не только 2 или 7.

Ошибка — поставить скобки не с первой повторяющейся цифры. В смешанной дроби это происходит, когда непериодическую часть ошибочно включают в период или, наоборот, часть периода оставляют за скобками. Проверь, что после раскрытия скобок получается исходная последовательность без изменений.

Ошибка — считать дробь чистой, хотя перед периодом есть цифры после запятой. Например, 0,8(3) — смешанная дробь, потому что до периода стоит цифра 8. Чтобы проверить вид дроби, найди начало скобок: если ему предшествуют цифры после запятой, дробь смешанная.

Ошибка — приписать конечной дроби период из ненулевых цифр. Конечная запись продолжается нулями, например 0,4 = 0,4000…; цифры 4 не повторяются бесконечно. Для проверки продолжи запись после последней цифры: там будут только нули.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно уметь делить натуральные числа с остатком и представлять обыкновенные дроби в виде десятичных. Остатки объясняют, почему одни записи заканчиваются, а другие переходят в повторяющуюся последовательность. Понятие периодической дроби пригодится при дальнейшем изучении рациональных чисел — чисел, которые можно записать в виде обыкновенной дроби. Оно также помогает сравнивать дроби, когда их десятичные записи бесконечны.

Что запомнить

• Период — группа цифр, которая повторяется бесконечно.
• Период записывают в скобках.
• У чистой периодической дроби период начинается сразу после запятой.
• У смешанной периодической дроби перед периодом есть непериодическая часть.
• При делении повтор остатка приводит к повторению цифр частного.
• Конечную десятичную дробь можно продолжить бесконечным числом нулей.