"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
При делении обыкновенной дроби десятичная запись может закончиться, а может продолжаться бесконечно. Если в ней повторяется одна и та же группа цифр, дробь называется периодической, а эта группа — периодом. Периодические дроби помогают записывать результаты деления и показывают, как связаны десятичные и обыкновенные дроби. Главное — уметь находить наименьшую повторяющуюся группу и правильно обозначать её скобками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бесконечная десятичная дробь — это запись числа, в которой после запятой стоит бесконечно много цифр. Например, 0,333… не заканчивается, а запись 0,125 конечна: после цифры 5 цифр больше нет. Это различие помогает понять, почему при делении иногда можно остановиться, а иногда десятичные цифры продолжаются без конца.
Периодическая десятичная дробь — бесконечная дробь, в которой начиная с некоторого места повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,424242… всё время повторяются цифры 42. Такой способ записи удобен, когда результат деления не заканчивается, но его цифры можно описать коротким правилом.
Период дроби — наименьшая группа цифр, которая повторяется бесконечно. Его заключают в круглые скобки: 0,(37) означает 0,373737… . Скобки показывают именно повторяющиеся цифры, поэтому запись становится короче и не приходится выписывать бесконечную цепочку.
Периодическая дробь называется чистой, если период начинается сразу после запятой, как в 0,(25). Если сначала идут цифры, которые не входят в период, дробь называется смешанной: например, в 0,2(5) цифра 2 — непериодическая часть, а 5 — период. Это деление на виды помогает точно прочитать запись и не перепутать её значение.
При делении числителя на знаменатель сначала получают целую часть, а затем продолжают деление после запятой. На каждом шаге остаток умножают на 10, чтобы определить следующую цифру частного, и снова находят остаток. Остаток всегда меньше делителя, поэтому возможных остатков конечное число; если деление продолжается, какой-то остаток рано или поздно повторится.
Повторившийся остаток запускает те же действия, что и раньше: его снова умножают на 10, получают ту же следующую цифру и снова приходят к тому же остатку. Поэтому от этого места цифры начинают повторяться. Если же остаток стал равен нулю, деление закончилось и десятичная запись конечна; так возникает конечная или периодическая запись при делении целых чисел.
Чтобы представить обыкновенную дробь десятичной, нужно разделить её числитель на знаменатель. Например, 1 : 8 заканчивается, потому что остаток становится нулём, а 5 : 11 продолжается: при делении остатки повторяются. В первом случае получается конечная десятичная дробь, во втором — бесконечная периодическая; причина различия видна по остаткам.
Период записывают в скобках, а цифры перед ним оставляют за скобками. Поэтому 0,2(5) означает 0,2555…, а 0,(25) — 0,252525… . В первом числе перед повторением есть одна цифра 2, во втором сразу повторяется группа 25; скобки помогают не смешивать эти записи.
Бесконечную периодическую дробь можно превратить в обыкновенную с помощью умножения и вычитания. Сначала обозначают число буквой, затем умножают его на 10, 100 или другую степень 10 так, чтобы одинаковые периодические части оказались после запятой. При вычитании эти бесконечные части сокращаются, и остаётся уравнение с конечными числами, из которого находят исходное число.
| Вид записи | Пример | Что повторяется | Связь с обыкновенной дробью |
|---|---|---|---|
| Конечная десятичная дробь | 0,125 | Ничего; запись заканчивается | 0,125 = 125/1000 = 1/8 |
| Чистая периодическая дробь | 0,(45) | Группа 45 с первой цифры после запятой | 0,(45) = 45/99 = 5/11 |
| Смешанная периодическая дробь | 0,1(6) | Цифра 6 после непериодической цифры 1 | 0,1(6) = 1/6 |
Сначала определите, заканчивается ли запись, а если нет — найдите цифры, которые повторяются. Затем посмотрите, начинается ли повторение сразу после запятой или ему предшествует непериодическая часть. Последний столбец показывает, что каждый из этих видов записи можно связать с обыкновенной дробью.
Получили 1 : 8 = 0,125. Дробь конечная, а не бесконечная периодическая: решающий признак — остаток стал равен нулю.
Ответ: 5 : 11 = 0,(45), период — 45. Скобки начинаются сразу после запятой, поэтому дробь чистая; повторение остатка подсказывает, где повторяются цифры.
Делим обе части на 90: x = 15/90 = 1/6. Ответ: 0,1(6) = 1/6; важно было сдвинуть запятую так, чтобы бесконечные части стали одинаковыми.
Иногда за период принимают все цифры после запятой, хотя повторяется только часть из них. Так происходит, когда не проверяют, какая группа повторяется снова и снова. Найдите наименьшую повторяющуюся группу: например, в 0,373737… период — 37, а не вся выписанная цепочка цифр.
Чистую дробь можно перепутать со смешанной, если не обратить внимания на начало периода. В смешанной дроби перед ним есть непериодическая часть, как цифра 2 в 0,2(5), а в 0,(25) её нет. Проверьте, с какой цифры начинается повторение: сразу после запятой или позже.
Ещё одна ошибка — поставить скобки вокруг непериодических цифр. Например, 0,(2)5 и 0,2(5) означают разные числа, потому что в первом случае повторяются двойки, а во втором — пятёрки после цифры 2. Перед записью отметьте, какие цифры действительно повторяются, и заключите в скобки только их.
При переводе периодической дроби в обыкновенную иногда выбирают неверные степени 10 или вычитают равенства с несовпадающими периодическими частями. В таком случае бесконечные хвосты не сократятся, и решение не приведёт к простому уравнению. Проверьте, что после умножения запятые сдвинулись на нужное число разрядов и одинаковые периодические части стоят друг под другом.
Для работы с периодическими дробями нужно уметь делить натуральные числа с остатком и понимать разряды десятичной записи. Также пригодится умножение десятичных дробей на 10, 100 и другие степени 10: оно позволяет сдвигать запятую и совмещать периодические части. Эти знания помогают объяснить не только ответ, но и причину повторения цифр.
Периодические дроби связывают десятичную запись с обыкновенными дробями и понадобятся при дальнейшем изучении рациональных чисел. Умение распознавать и переводить такие записи помогает сравнивать числа и выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому здесь важны и деление, и внимательное чтение записи.
Как понять, что десятичная дробь является периодической?
Если после запятой бесконечно повторяется одна и та же группа цифр, дробь периодическая. При делении это можно заметить по повторению остатка: после него цифры начинают повторяться.
Как найти период дроби при делении?
Выполняйте деление и записывайте остатки после каждого шага. Когда остаток повторится, повторится и последовательность цифр, полученная после этого остатка; наименьшую повторяющуюся группу и называют периодом.
Чем чистая периодическая дробь отличается от смешанной?
У чистой дроби период начинается сразу после запятой, например 0,(37). У смешанной перед периодом есть непериодическая часть: в числе 0,2(5) сначала стоит цифра 2, а затем повторяются пятёрки.
Как правильно записать период в скобках?
В круглые скобки заключают только наименьшую группу цифр, которая повторяется бесконечно. Например, 0,373737… записывают как 0,(37), а 0,2555… — как 0,2(5).
Как перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную?
Обозначьте дробь буквой и умножьте равенства на такие степени 10, чтобы периодические части совпали. Вычтите одно равенство из другого: период исчезнет, и останется уравнение, из которого можно найти дробь.
§17. Бесконечные периодические десятичные дроби
