§16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Определения и обозначения

Конечная десятичная дробь — дробь, десятичная запись которой содержит конечное число цифр после запятой. Например, 3/8 = 0,375: после запятой стоят три цифры, и деление можно закончить. Понятие помогает отличить точную конечную запись от записи, которая продолжается бесконечно.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — дробь, в записи которой после запятой бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Например, 5/12 = 0,41666…; цифра 6 повторяется без конца. Такое название нужно, чтобы понять: десятичную запись нельзя завершить, но её повторяющуюся часть можно обозначить кратко.

Период десятичной дроби — повторяющаяся группа цифр в записи бесконечной периодической дроби. Её записывают в скобках: 0,41(6) означает 0,41666…, а 0,(27) — 0,272727… Скобки показывают, какие цифры повторяются, поэтому запись получается короче и точнее, чем многоточие.

Как это устроено

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную выполняют делением числителя на знаменатель. Например, для дроби 3/8 нужно разделить 3 на 8; поскольку 3 меньше 8, записываем 0, ставим запятую и приписываем к 3 ноль, чтобы продолжить деление. Каждый следующий остаток также можно умножить на 10, приписав ноль, и получить очередную цифру частного.

Если при делении остаток стал равен нулю, деление заканчивается. Это происходит потому, что делимое на данном шаге разделилось на знаменатель без остатка, а значит, новых цифр после запятой уже не появится. Например, 3/8 = 0,375, и нулевой остаток подтверждает, что это точная конечная запись.

Если остатки начинают повторяться, дальше повторяются и цифры частного. Причина в том, что при одном и том же остатке следующий шаг деления будет точно таким же: к остатку приписывают ноль и делят на прежний знаменатель. Значит, вся цепочка действий пойдёт по кругу, а десятичная дробь будет бесконечной периодической.

Чтобы заранее проверить, закончится ли деление, сначала сократи дробь и разложи её знаменатель на простые множители. Если в знаменателе остались только 2 и 5, его можно домножить до 10, 100, 1000 и так далее: например, 8 = 2³, а 8 · 125 = 1000. Тогда дробь можно записать с конечным числом цифр после запятой. Именно поэтому проверять нужно знаменатель сокращённой дроби: сокращение может убрать лишние множители.

Если в знаменателе сокращённой дроби есть простой множитель, отличный от 2 и 5, получить знаменатель 10, 100, 1000 и так далее домножением не удастся. Тогда запись бесконечная периодическая. Длина периода может быть разной: у 1/3 = 0,(3) период состоит из одной цифры, у 1/7 = 0,(142857) — из шести, а у 5/12 = 0,41(6) сначала есть неповторяющаяся часть, затем период.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Сначала сократи дробь и найди множители знаменателя, затем сопоставь результат с таблицей. При самом делении окончательно убедиться в ответе можно по остатку: нулевой означает конец, повторившийся — период.

Разбор задач

Преобразуйте дробь 3/8 в десятичную. Так как числитель меньше знаменателя, целая часть частного равна нулю. Продолжим деление, пока остаток не станет нулём.

1. Записываем 3 : 8 = 0,… и приписываем к делимому ноль: 30 : 8 = 3, остаток 6. Первая цифра после запятой — 3.
2. К остатку 6 приписываем ноль: 60 : 8 = 7, остаток 4. Следующая цифра — 7.
3. К остатку 4 приписываем ноль: 40 : 8 = 5, остаток 0. Деление закончилось.

Ответ: 3/8 = 0,375. Нулевой остаток показывает, что дробь получила точную конечную десятичную запись.

Преобразуйте дробь 5/12 в десятичную. После сокращения дробь не меняется, а в знаменателе 12 = 2² · 3; множитель 3 подсказывает, что запись будет периодической. Проверим это делением и проследим за остатками.

1. Делим 50 на 12: получаем 4, остаток 2. Первая цифра после запятой — 4.
2. К остатку 2 приписываем ноль: 20 : 12 = 1, остаток 8. Вторая цифра — 1.
3. Получаем 80 : 12 = 6, остаток 8. Остаток 8 повторился, значит, цифра 6 тоже будет повторяться.

Ответ: 5/12 = 0,41(6). Цифры 4 и 1 появляются до повторения остатка, поэтому в период входят только шестёрки.

Преобразуйте дробь 7/30 в десятичную и укажите период. Сокращать её не нужно: 30 = 2 · 3 · 5, поэтому в знаменателе есть множитель 3, отличный от 2 и 5. Это указывает на бесконечную периодическую запись, а деление поможет найти её период.

1. Делим 70 на 30: получаем 2, остаток 10. Записали первую цифру после запятой — 2.
2. К остатку 10 приписываем ноль: 100 : 30 = 3, остаток 10. Остаток повторился.
3. Значит, цифра 3 будет повторяться после цифры 2. Записываем повторяющуюся цифру в скобках.

Ответ: 7/30 = 0,2(3), период — 3. Повтор остатка 10 подтверждает, что при каждом следующем шаге частное снова будет давать цифру 3.

Типичные ошибки

Останавливать деление после нескольких цифр и считать полученное приближённое значение точным — ошибка. Её допускают, когда принимают многоточие за признак завершённого вычисления. Проверь остаток: точное конечное значение получено, только если он равен нулю.

Записывать период, не проверив, какие именно цифры повторяются, тоже неверно. Можно увидеть одинаковую цифру дважды и ошибочно заключить, что она и есть период. Следи за остатками: период начинается с того места, откуда повторяется последовательность шагов деления.

Проверять знаменатель до сокращения дроби рискованно: несократимые на первый взгляд множители могут исчезнуть при сокращении. Тогда можно ошибочно решить, что запись бесконечная. Сначала сократи дробь, разложи получившийся знаменатель на множители и только потом делай вывод.

Нельзя считать, что любая обыкновенная дробь превращается в конечную десятичную. Например, 1/3 даёт 0,(3), а деление не заканчивается, потому что остатки повторяются. Чтобы проверить себя, посмотри на знаменатель сокращённой дроби: множитель, отличный от 2 и 5, означает бесконечную периодическую запись.

Связь с другими темами

Для преобразования дробей нужны навыки сокращения обыкновенных дробей, деления натуральных чисел и деления с остатком. Они помогают не только вычислить десятичную запись, но и понять, когда деление заканчивается или начинает повторяться. Если эти действия пока вызывают трудности, полезно потренироваться на простых примерах.

Десятичная запись пригодится при сравнении дробей и вычислениях с десятичными дробями. Она также помогает решать задачи на части величин, когда результат удобно представить в десятичном виде. Умение находить период позволяет записать точный результат, не заменяя его приближённым.

Что запомнить

• Чтобы преобразовать дробь в десятичную, раздели числитель на знаменатель.
• Нулевой остаток означает, что десятичная запись конечна.
• Повторение остатков приводит к повторению цифр частного.
• Бесконечную повторяющуюся часть записывают в скобках.
• Условие конечности проверяют после сокращения дроби: в знаменателе должны остаться только множители 2 и 5.