"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Если известно, чему равна часть числа, записанная обыкновенной дробью, можно восстановить всё число. Для этого сначала находят значение одной равной части: известное значение делят на числитель дроби. Затем результат умножают на знаменатель, потому что целое состоит из такого числа равных частей. Этот приём помогает решать обратные задачи о расстояниях, книгах и других величинах, а проверка показывает, верно ли найден ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь числа — результат деления этого числа на равные части согласно знаменателю дроби и взятия столько таких частей, сколько показывает числитель. Например, 3/5 числа получают, если разделить число на пять равных частей и взять три из них. Это определение помогает понять, какую часть целого описывает дробь. Знаменатель указывает количество равных частей, а числитель — сколько из них взяли.
Значение дроби числа — результат умножения числа на данную дробь. Например, чтобы найти 3/5 числа, сначала находят одну пятую: число делят на 5, а затем умножают результат на 3. Так можно узнать, сколько составляет указанная часть величины. Это умение нужно, чтобы решать прямые задачи, в которых известно целое число.
Нахождение числа по заданному значению его дроби — определение неизвестного числа, когда известны его дробная часть и значение этой части. Например, если 3/5 неизвестного числа равны 24, нужно определить всё число. Для этого восстанавливают целое по нескольким равным долям. Такой способ нужен, когда в условии дана часть величины, а спрашивают её полное значение.
Обратная задача — задача, в которой по значению дроби находят исходное число. В прямой задаче, наоборот, по известному числу находят значение его дроби. Например, вопрос «чему равны 3/5 от 40?» — прямой, а вопрос «3/5 какого числа равны 24?» — обратный. Различие между ними подсказывает, что именно требуется найти.
Представим, что дробь m/n числа равна a. Знаменатель n означает, что неизвестное число разделили на n одинаковых долей, а числитель m показывает, что значение a составляют m таких долей. Значит, значение дроби не является одной долей, если числитель больше единицы. Чтобы восстановить целое, нужно сначала выяснить размер одной доли, а затем собрать из долей всё число.
Чтобы найти одну долю, значение a делят на числитель m. Причина в том, что a уже содержит m одинаковых долей: при делении их общая величина распределяется поровну между ними. Например, если три доли вместе равны 24, то одна доля равна 24 : 3 = 8. Делить здесь следует именно на числитель, а не на знаменатель: знаменатель говорит о долях во всём целом, а не о долях, значение которых известно.
Когда размер одной доли найден, его умножают на знаменатель n. В исходном числе всего n равных долей, поэтому нужно взять n раз значение одной доли. Если одна доля равна 8, а всего долей пять, целое равно 8 · 5 = 40. Так восстанавливается число, от которого была взята известная дробь.
Эти два действия можно записать общей формулой: если m/n числа x равны a, то x = (a : m) · n = a · n/m. Порядок действий связан с тем, как устроена дробная часть: сначала из значения m долей получают одну долю делением на m, потом из одной доли получают n долей умножением на n. Это обратный ход по сравнению с нахождением дроби от числа. Формула удобна, но смысл действий помогает не перепутать числитель со знаменателем.
Проверить результат можно, подставив найденное число вместо x. Нужно вычислить его заданную дробь, то есть умножить число на m/n. Если получилось значение a из условия, вычисления согласуются с задачей. Такая проверка особенно полезна, когда ответ кажется правдоподобным, но порядок действий мог быть перепутан.
| Этап | Действие | Обоснование |
|---|---|---|
| Записать условие | Дробь m/n числа x равна a | Известны дробь и её значение |
| Найти одну долю | Разделить a на m | Значение a соответствует m долям |
| Найти целое число | Умножить значение одной доли на n | В целом числе n равных долей |
| Записать общий способ | x = a · n/m | Деление на m и умножение на n |
| Проверить ответ | Вычислить m/n от найденного x | Результат должен быть равен a |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала запиши, какая дробь и какое её значение даны, затем найди одну долю и восстанови целое. Буква m обозначает числитель, а n — знаменатель дроби. В конце выполни проверку, подставив найденное число в условие.
Задача 1. Найдите число, если 3/5 этого числа равны 24. Здесь известное значение 24 составляют три равные доли, а всё число состоит из пяти долей. Поэтому сначала найдём одну долю, а потом пять таких долей. Запишем решение по шагам.
Ответ: 40. Проверка подтверждает, что три пятых от этого числа действительно равны 24. При решении важно не принимать 8 за всё число: это только значение одной пятой. Чтобы получить целое, мы собрали пять таких частей.
Задача 2. За день турист прошёл 7/9 всего маршрута — 28 км. Какова длина маршрута? Число 28 км соответствует семи равным долям маршрута, а найти нужно девять долей. Значит, восстановим сначала длину одной доли, затем всего пути.
Ответ: длина маршрута — 36 км. Мы нашли именно весь путь, а не только его непройденную часть. Проверка показывает, что семь девятых от 36 км равны 28 км. Значит, ответ соответствует данным задачи.
Задача 3. В школьную библиотеку привезли книги. 5/8 всех книг составляют 35 новых книг. Сколько книг привезли всего и сколько из них не новые? Сначала нужно восстановить общее количество, потому что 35 книг — лишь пять восьмых от него. Затем из общего числа вычтем известное количество новых книг.
Ответ: всего привезли 56 книг, из них 21 не новая. Сначала мы ответили на вопрос об общем количестве, а потом нашли число книг, которые не относятся к новым. Эти действия нельзя менять местами: для вычитания нужно знать целое. Проверка подтверждает, что пять восьмых от 56 равны 35.
Для решения нужно понимать числитель и знаменатель, а также уметь находить дробь числа умножением числа на дробь. Это прямая задача: известно целое, требуется вычислить его часть. В новой теме ход рассуждений обратный — по известной части находят целое. Сравнение этих задач помогает выбрать подходящий способ.
Приём опирается на умножение и деление как взаимно обратные действия. Сначала делением находят значение одной доли, затем умножением восстанавливают нужное количество долей. Эта же идея встречается в задачах, где требуется узнать величину одной части по нескольким одинаковым частям. Поэтому полезно внимательно следить, что именно обозначают числитель и знаменатель.
Восстановление целого по его части пригодится в задачах о величинах и расстояниях, а позднее — при работе с процентами. Процент тоже описывает часть от целого, поэтому важно уметь переходить от известной части к полной величине. Например, если известна цена или длина, составляющая некоторую долю от целого, можно рассуждать теми же шагами. Сначала находят одну равную часть, затем — всё количество частей.
Почему значение дроби нужно делить на числитель?
Значение дроби — это сумма нескольких равных долей, и их количество показывает числитель. Чтобы узнать значение одной доли, нужно разделить эту сумму на число долей.
Почему после нахождения одной доли нужно умножить её на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. Поэтому, чтобы собрать целое число, значение одной доли умножают на знаменатель.
Какую формулу использовать, если известны дробь числа и её значение?
Если m/n числа x равны a, то x = a · n/m. Это то же самое, что сначала разделить a на m, а затем умножить результат на n.
Можно ли сразу умножить известное значение на знаменатель и разделить на числитель?
Да, можно: умножение на знаменатель и деление на числитель можно выполнить как одно вычисление. Получится формула x = a · n/m. Главное — не перепутать числитель и знаменатель.
Как проверить, правильно ли найдено число?
Умножьте найденное число на заданную дробь. Если получилось известное по условию значение, ответ верен.
§15. Нахождение числа по заданному значению его дроби
