§14. Деление дробей

Определения и обозначения

Деление дробей — действие, обратное умножению: частное показывает, какое число нужно умножить на делитель, чтобы получить делимое. Например, если 3/4 ÷ 2/5 = 15/8, то 15/8 · 2/5 = 3/4. Это определение помогает понять смысл деления и проверять вычисления. Оно также подсказывает, почему при делении используют умножение.

Обратные числа — два числа, произведение которых равно 1; например, 3/5 и 5/3. При умножении числитель одной дроби сокращается со знаменателем другой, поэтому произведение равно 1. Обратные числа нужны, чтобы заменить деление умножением. Для ненулевого целого числа обратным тоже может быть дробь: например, для 2 обратное число — 1/2.

Обратная дробь — дробь, полученная перестановкой числителя и знаменателя данной дроби. Например, для 4/7 обратная дробь — 7/4, а для 5/1 — 1/5. Такая перестановка меняет дробь на число, обратное ей по умножению. Обратная дробь существует только для ненулевой дроби: у дроби с числителем 0 нельзя получить знаменатель 0.

Деление на дробь — действие, которое заменяют умножением делимого на дробь, обратную делителю. Так, чтобы разделить 3/4 на 2/5, нужно вычислить 3/4 · 5/2. Это правило позволяет свести деление дробей к знакомому умножению. При его применении важно не перепутать делимое и делитель.

Как это устроено

Связь деления с умножением помогает понять, как найти частное. Если a ÷ b = c, то c · b = a: частное должно быть таким числом, которое при умножении на делитель возвращает делимое. Например, 12 ÷ 3 = 4, потому что 4 · 3 = 12. Для дробей действует та же связь, поэтому результат можно проверить умножением.

Пусть нужно разделить a/b на c/d, где делитель не равен нулю. Мы ищем число, которое при умножении на c/d даст a/b. Умножение на обратную дробь d/c подходит, потому что c/d · d/c = 1, а умножение на 1 не меняет число. Поэтому a/b ÷ c/d = a/b · d/c; переворачивают именно делитель, а делимое оставляют на месте.

Проверка следует из самого смысла деления. Если частное найдено верно, то при умножении его на исходный делитель должно получиться делимое. Например, для 3/4 ÷ 2/5 = 15/8 проверяем: 15/8 · 2/5 = 30/40 = 3/4. Если получилось не делимое, значит, в вычислении или сокращении допущена ошибка.

Смешанное число неудобно сразу обращать: у него есть целая часть и дробная часть, а обратную дробь получают только перестановкой числителя и знаменателя одной дроби. Поэтому смешанное число сначала превращают в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. Целое число при необходимости записывают дробью со знаменателем 1, например 3 = 3/1. После преобразования применяют обычное правило деления.

Деление на ноль не определено. Если бы частное от деления a на 0 существовало, нужно было бы найти число c, для которого c · 0 = a. Но произведение любого числа на ноль равно нулю: если a не равно нулю, такого c нет, а если a = 0, подошло бы любое число и единственного частного не было бы. Поэтому у нуля нет обратного числа и на него делить нельзя.

Деление дробей

В таблице собраны три распространённых случая. Во всех них сначала определите делимое и делитель, а затем примените одно правило: умножьте делимое на обратную дробь делителя. Для смешанных чисел сначала выполните перевод в неправильные дроби.

Разбор задач

Вычислите 3/5 ÷ 2/7. Делимое здесь — 3/5, делитель — 2/7, поэтому обращать нужно вторую дробь. После замены деления умножением можно сократить общие множители, если они есть. В этом примере сокращение не требуется.

1. Оставим делимое 3/5 без изменений, а делитель 2/7 заменим обратной дробью 7/2.

2. Заменим деление умножением: 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 · 7/2.

3. Перемножим числители и знаменатели: 3 · 7 = 21, 5 · 2 = 10, поэтому получим 21/10.

Ответ: 21/10, или 2 1/10. Частное больше единицы, что разумно: делитель 2/7 меньше единицы, и в 3/5 помещается больше одной такой части.

Вычислите 2 1/3 ÷ 1 2/5. Обращать смешанное число напрямую нельзя, поэтому сначала каждое число нужно записать неправильной дробью. Затем важно проследить, что обратной станет только дробь-делитель. Так мы не меняем значение делимого и правильно применяем правило.

1. Переведём делимое: 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3.

2. Переведём делитель: 1 2/5 = (1 · 5 + 2)/5 = 7/5, затем найдём обратную дробь 5/7.

3. Заменим деление умножением и сократим: 7/3 ÷ 7/5 = 7/3 · 5/7 = 5/3.

Ответ: 5/3, или 1 2/3. Проверка: 5/3 · 7/5 = 7/3, а 7/3 — это исходное делимое. Значит, вычисление выполнено верно.

Для одной поделки требуется 3/4 м ленты. Сколько таких поделок можно сделать из 4 1/2 м ленты? Нужно выяснить, сколько раз длина для одной поделки содержится во всей ленте. Поэтому делим общий запас на расход для одной поделки; остаток в этом примере не помешает сделать целое число поделок.

1. Запишем задачу делением: 4 1/2 ÷ 3/4.

2. Переведём смешанное число: 4 1/2 = 9/2, затем обратим делитель: 3/4 превращается в 4/3.

3. Выполним умножение: 9/2 · 4/3. Сократим 9 и 3, а 4 и 2; получим 3 · 2 = 6.

Ответ: можно сделать 6 поделок. Проверим смысл результата: 6 · 3/4 = 18/4 = 4 1/2 м, то есть на шесть поделок уйдёт вся лента.

Типичные ошибки

• Иногда обращают делимое вместо делителя: например, в выражении a/b ÷ c/d ошибочно заменяют a/b на b/a. Так происходит, когда путают порядок дробей. Правильно оставить делимое и умножить его на d/c. Для проверки сверьтесь с записью: перевёрнута должна быть именно дробь, стоящая после знака деления.

• После переворачивания делителя некоторые оставляют знак деления: a/b ÷ c/d = a/b ÷ d/c. Это ошибка, потому что обратная дробь нужна для перехода к умножению, а не для замены делителя при сохранении прежнего действия. Записывайте оба изменения рядом: ÷ c/d заменяется на · d/c. Затем проверьте, что в выражении действительно стоит умножение.

• Смешанное число могут перевернуть сразу, например 1 2/3 превратить в 3/2. Смешанное число не является одной дробью с числителем 1 и знаменателем 2/3, поэтому такая перестановка не сохраняет нужное значение. Сначала переведите его в неправильную дробь: 1 2/3 = 5/3, а затем при необходимости обратите. Проверка проста: перевод в неправильную дробь должен давать число с тем же значением.

• Иногда пытаются делить на нулевую дробь или считают, что её обратная дробь существует. Но нулевая дробь равна нулю, а обратная к ней потребовала бы деления на ноль. При проверке пришлось бы найти число, произведение которого с нулём равно делимому; для ненулевого делимого такого числа нет. Если делимое тоже ноль, частное не единственно, поэтому деление всё равно не определено.

Связь с другими темами

Перед делением дробей нужно уметь умножать обыкновенные дроби и сокращать их. Ещё понадобится находить обратную дробь и переводить смешанные числа в неправильные. Эти действия позволяют выполнить каждый шаг правила без новых вычислительных приёмов.

Деление дробей встречается в уравнениях: чтобы найти неизвестный множитель, делят произведение на известный множитель. Оно нужно и в задачах на количество частей, когда известны целое и размер одной части. Например, запас ленты делят на расход для одной поделки.

Главное основание правила — связь деления с умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Поэтому результат можно проверить обратным действием. Такая проверка помогает находить ошибки и при вычислениях, и при решении задач.

Что запомнить

• Деление связано с умножением как обратное действие.
• Чтобы разделить на дробь, умножь на дробь, обратную делителю.
• Обращают делитель, а не делимое.
• Смешанные числа перед делением переводят в неправильные дроби.
• На ноль делить нельзя.
• Результат можно проверить умножением частного на делитель.