6.4. Деление дробей

Определения и обозначения

Деление дробей — действие, при котором по делимому и делителю находят частное. Делимое — это число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. Например, в записи 2/3 : 4/5 дробь 2/3 — делимое, а 4/5 — делитель. Эти названия помогают не перепутать, какую дробь нужно оставить, а какую обратить.

Обратная дробь — дробь, полученная перестановкой числителя и знаменателя; произведение дроби и обратной ей дроби равно 1. Например, для 3/7 обратная дробь — 7/3, потому что 3/7 · 7/3 = 1. Обратную дробь находят, чтобы выполнить деление умножением. У нуля обратной дроби нет, поэтому делить на ноль нельзя.

Частное дробей — результат деления одной дроби на другую. Например, в записи 2/3 : 4/5 частное показывает, сколько раз 4/5 содержится в 2/3. Оно может быть меньше единицы: это происходит, если делимое меньше делителя. Понятие частного позволяет связать вычисление с вопросом задачи.

Как это устроено

Деление отвечает на вопрос: сколько раз делитель содержится в делимом. Например, в 6 : 2 частное равно 3, потому что три двойки составляют 6. Тот же смысл сохраняется, когда числа становятся дробями: в 1/2 : 1/4 спрашивают, сколько четвертей помещается в одной второй. В одной второй помещаются две четверти, поэтому частное равно 2.

При делении дробей мы ищем такое число, которое при умножении на делитель даст делимое. Это следует из связи умножения и деления: частное · делитель = делимое. Например, если частное от 2/3 : 4/5 обозначить буквой x, то должно выполняться x · 4/5 = 2/3. Умножение на дробь, обратную 4/5, убирает множитель 4/5 и помогает найти x.

Так появляется правило: чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. В записи a/b : c/d получается a/b · d/c, если делитель c/d не равен нулю. Обращают только делитель, поскольку именно он стоит рядом с неизвестным частным в равенстве частное · делитель = делимое. После этого знак деления обязательно меняют на умножение.

Натуральное число удобно записывать дробью со знаменателем 1: например, 3 = 3/1. Тогда деление 3 на 2/7 превращается в 3/1 · 7/2. Если делят дробь на натуральное число, то натуральное число тоже записывают дробью: 2 = 2/1, а обратная к ней дробь — 1/2. Поэтому 3/4 : 2 можно записать как 3/4 · 1/2.

Вычисления выполняют в устойчивом порядке, чтобы не перепутать действия. Сначала находят дробь, обратную делителю, затем заменяют деление умножением и перемножают числители и знаменатели. Если у дробей есть общие множители в числителе и знаменателе, результат можно сократить. В конце полезно проверить, не был ли делитель равен нулю.

Как разделить дроби

Таблица показывает, как применять одно правило в трёх случаях. Сначала определи делитель и найди дробь, обратную именно ему, затем умножай. Натуральное число при необходимости записывай дробью со знаменателем 1.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2/3 : 4/5. Нужно узнать, сколько раз 4/5 содержится в 2/3. Для этого деление заменяем умножением, оставляя делимое прежним. Затем перемножаем числители и знаменатели и сокращаем результат, если это возможно.

1. Обратная дробь к делителю 4/5 — 5/4.
2. Заменяем деление умножением: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4.
3. Перемножаем: 2 · 5/(3 · 4) = 10/12.
4. Сокращаем 10/12 на 2 и получаем 5/6.

Ответ: 5/6. Частное меньше 1, и это разумно: делимое 2/3 меньше делителя 4/5. Если делимое меньше делителя, делитель содержится в нём меньше одного раза. Это помогает проверить, что результат не выглядит неожиданным.

Задача 2. Вычислите 3 : 2/7. В делимом стоит натуральное число, поэтому представим его дробью со знаменателем 1. Обращаем только дробь-делитель 2/7, а число 3/1 оставляем как есть. После умножения можно сократить множители до выполнения вычисления.

1. Записываем 3 как дробь: 3 = 3/1.
2. Обратная дробь к 2/7 — 7/2, поэтому 3 : 2/7 = 3/1 · 7/2.
3. Перемножаем: 3 · 7/(1 · 2) = 21/2 = 10 1/2.

Ответ: 21/2, или 10 1/2. Такой результат подходит смыслу деления: в трёх целых помещается много частей размером 2/7. Если выполнить умножение, получим дробь больше 3, потому что делим на число, меньшее единицы.

Задача 3. За 3/4 часа турист прошёл 5/2 км. Сколько километров он проходит за 1 час, если движется с той же скоростью? Нужно найти расстояние за один час, то есть разделить весь путь на время. Скорость показывает, какое расстояние приходится на одну единицу времени. Поэтому вычислим 5/2 : 3/4.

1. Находим обратную дробь к делителю 3/4: это 4/3.
2. Заменяем деление умножением: 5/2 : 3/4 = 5/2 · 4/3.
3. Сокращаем 4 и 2 на 2, затем умножаем: 5 · 2/3 = 10/3 = 3 1/3.
4. Записываем результат с единицей измерения: 3 1/3 км за час.

Ответ: 3 1/3 км за 1 час. Мы нашли путь не за 3/4 часа, а за полный час, поэтому разделили известное расстояние на время. При неизменной скорости такой расчёт даёт расстояние на одну единицу времени. Значит, скорость туриста равна 3 1/3 км/ч.

Типичные ошибки

Переворачивают делимое вместо делителя. Так бывает, если механически меняют местами числа в первой дроби, не определив, на что делят. Проверь запись: в 2/3 : 4/5 обратной должна стать 4/5, а 2/3 остаётся на месте. Можно также свериться с правилом: обращают число справа от знака деления.

Оставляют знак деления после того, как обратили делитель. Тогда запись не соответствует правилу, которое заменяет одно действие другим. Например, вместо 2/3 : 4/5 нужно получить 2/3 · 5/4. Проверь, что после нахождения обратной дроби между дробями стоит знак умножения.

Обращают дробь неправильно, меняя знак числителя или знаменателя, а не их места. Например, обратная к 3/8 — это 8/3, а не дробь с отрицательным числителем. Чтобы проверить себя, перемножь дроби: произведение 3/8 и 8/3 должно равняться 1. Если этого не получилось, обратная дробь найдена неверно.

Делят отдельно числители и знаменатели, например пытаются вычислить 2/3 : 4/5 как 2 : 4 и 3 : 5. Такой способ не является правилом деления дробей и может привести к ошибке. Сначала обязательно замени деление умножением на обратную дробь. Затем умножай числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

Связь с другими темами

Для деления дробей нужны навыки, которые изучаются раньше: умение сокращать дроби, умножать их и записывать натуральное число дробью со знаменателем 1. Если эти действия знакомы, новое правило сводит деление к уже известному умножению. Перед вычислением также пригодится умение находить общие множители числителя и знаменателя.

Деление дробей помогает находить целую величину по её части и решать задачи о количестве на одну единицу. Например, расстояние, пройденное за время, делят на это время, чтобы найти скорость. Так же можно вычислить расход за единицу или время, необходимое для одного участка работы. В каждом случае деление отвечает на вопрос, сколько приходится на одну выбранную единицу.

Что запомнить

• Делить на дробь — значит умножать на обратную ей дробь.
• Обращают делитель, а не делимое.
• При делении дробей знак деления заменяют умножением.
• Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1.
• Перед вычислениями проверь, что делитель не равен нулю.
• Полученный результат можно сократить.