§ 4. Деление дробей

Определения и обозначения

Деление дробей — действие, при котором находят число, показывающее, сколько раз делитель содержится в делимом. Например, ¾ : ¼ = 3: четверть помещается в трёх четвертях три раза. Это действие нужно, когда требуется найти неизвестный множитель или сравнить величины по тому, во сколько раз одна больше другой.

Обратное число — число, произведение которого с данным числом равно 1; для дроби a/b при a ≠ 0 это b/a. Например, для 2/5 обратное число — 5/2, потому что 2/5 · 5/2 = 1. Обратное число помогает превратить деление на дробь в более привычное умножение.

Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно 1. Таковы, например, 3/7 и 7/3: при умножении числители и знаменатели попарно сокращаются, и получается 1. Это название подчёркивает, что каждое из двух чисел является обратным для другого.

Деление на дробь — действие, которое заменяют умножением делимого на число, обратное делителю. Например, вместо 4 : 2/3 вычисляют 4 · 3/2. Такое правило позволяет выполнять деление по известным правилам умножения дробей, не меняя значения выражения.

Как это устроено

Чтобы найти число, обратное дроби a/b, нужно поменять местами числитель и знаменатель: получится b/a. Причина видна из умножения: a/b · b/a = ab/ab = 1, если a не равно нулю. Например, 3/8 и 8/3 взаимно обратны, потому что 3/8 · 8/3 = 1. Нулю обратной дроби не существует: никакое число, умноженное на ноль, не даст единицу.

Почему деление на ненулевую дробь превращается в умножение на обратную? Частное — это такое число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Если делитель равен c/d, то умножение на d/c позволяет убрать его: c/d · d/c = 1. Поэтому произведение делимого на d/c при проверке, то есть при умножении на исходный делитель c/d, возвращает делимое.

Алгоритм деления дроби на дробь состоит из трёх действий. Сначала оставь делимое без изменения, затем замени знак деления на умножение и обрати делитель, поменяв местами его числитель и знаменатель. После этого умножь числители друг на друга и знаменатели друг на друга, а результат сократи, если это возможно. Например, 2/3 : 5/7 = 2/3 · 7/5 = 14/15.

Деление дроби на натуральное число — частный случай того же правила: натуральное число n можно записать как n/1, а обратное к нему число — 1/n. Значит, 3/5 : 2 = 3/5 · 1/2 = 3/10. При делении натурального числа на дробь сначала представь натуральное число дробью со знаменателем 1: 4 : 2/3 = 4/1 · 3/2. В обоих случаях применяется общее правило, а не отдельный способ вычисления.

Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби, потому что правило деления дробей требует, чтобы делимое и делитель были записаны дробями. Чтобы перевести смешанное число, целую часть умножают на знаменатель, к результату прибавляют числитель, а прежний знаменатель оставляют. Например, 2 1/4 = 9/4. Перед вычислением проверь, что делитель не равен нулю: только у ненулевого числа есть обратное.

Деление дробей в разных случаях

Найди в таблице нужный случай и следуй указанному действию. Во всех строках действует одно общее правило: обращают делитель, а делимое сохраняют. Если числа смешанные, сначала запиши их неправильными дробями, а затем проверь, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Вычислите 3/5 : 2/7. Здесь делитель — 2/7, поэтому именно его нужно обратить, а дробь 3/5 оставить без изменения. После замены деления умножением можно перемножить дроби и сократить ответ, если у числителя и знаменателя появится общий делитель.

1. Записываем выражение, не меняя делимое: 3/5 : 2/7.
2. Меняем деление на умножение и обращаем делитель: 3/5 · 7/2.
3. Перемножаем числители и знаменатели: (3 · 7)/(5 · 2) = 21/10. Дробь несократима, поэтому выделяем целую часть: 21/10 = 2 1/10.

Ответ: 2 1/10. Проверка помогает убедиться в результате: умножим частное 21/10 на исходный делитель 2/7. Получим 42/70 = 3/5, то есть исходное делимое.

Вычислите 4 : 2/3. Натуральное число 4 можно представить дробью 4/1, чтобы запись соответствовала правилу деления дробей. Делителем является 2/3, значит, его нужно заменить на обратную дробь 3/2.

1. Записываем натуральное число дробью: 4 = 4/1.
2. Заменяем деление умножением и обращаем только делитель: 4/1 · 3/2.
3. Перемножаем: (4 · 3)/(1 · 2) = 12/2 = 6. Можно также сократить 4 и 2 перед умножением, чтобы получить тот же результат быстрее.

Ответ: 6. Проверим вычисление: 6 · 2/3 = 12/3 = 4, значит, полученное число при умножении на делитель возвращает делимое. Результат разумен и по смыслу: в четырёх целых содержится шесть отрезков длиной 2/3.

Вычислите 2 1/4 : 1 1/2. Смешанные числа нельзя сразу подставить в правило деления дробей, поэтому сначала каждое из них нужно преобразовать в неправильную дробь. Затем делителем станет дробь 3/2, которую и потребуется обратить.

1. Переводим смешанные числа: 2 1/4 = (2 · 4 + 1)/4 = 9/4, а 1 1/2 = (1 · 2 + 1)/2 = 3/2.
2. Заменяем деление умножением и обращаем делитель: 9/4 : 3/2 = 9/4 · 2/3.
3. Сокращаем 9 и 3, а 2 и 4: получаем 3/2. Выделяем целую часть: 3/2 = 1 1/2.

Ответ: 1 1/2. Для проверки умножаем ответ на исходный делитель: 3/2 · 3/2 = 9/4, а 9/4 — это исходное делимое 2 1/4. Значит, деление выполнено верно.

Типичные ошибки

Ошибка: обращают делимое вместо делителя. Например, в выражении 3/5 : 2/7 ошибочно меняют местами числа в 3/5, хотя нужно обратить 2/7; так делают, потому что обращение запоминают, но забывают, к какому числу его применить. Проверка: после замены деления умножением исходное делимое должно остаться первым множителем.

Ошибка: заменяют деление умножением, но оставляют делитель без изменения. Такое случается, если ученик помнит только половину правила. Проверяй запись: после знака умножения должна стоять дробь, в которой числитель и знаменатель исходного делителя поменялись местами; например, вместо 2/7 должна появиться 7/2.

Ошибка: начинают делить смешанные числа, не переводя их в неправильные дроби. Тогда правило для дробей применяют к записи, в которой целая часть и дробная часть ещё не объединены. Чтобы проверить себя, до обращения делителя убедись, что каждое смешанное число записано одной неправильной дробью, например 2 1/4 = 9/4.

Ошибка: делят на ноль или пытаются найти обратное число нуля. Иногда ноль принимают за обычный делитель, но частного, которое при умножении на ноль даст ненулевое число, не существует; и любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Перед вычислением посмотри на делитель: если он равен нулю, выражение не имеет смысла, а обратной дроби для нуля нет.

Связь с другими темами

Для деления дробей нужны навыки умножения и сокращения обыкновенных дробей, а также умение находить обратное число. Если в примере есть смешанные числа, их сначала переводят в неправильные дроби; значит, важно уверенно выполнять и это преобразование. Новое правило опирается на знакомое умножение и позволяет перейти от деления к более простому вычислению.

Деление дробей используют при решении уравнений, например, чтобы найти неизвестный множитель. Оно также помогает находить величину по её части: если известны размер части и доля целого, можно разделить размер этой части на долю. Поэтому правило встречается не только в числовых примерах, но и в задачах.

Что запомнить

• Деление на дробь заменяют умножением на дробь, обратную делителю.
• Обращают делитель, а делимое оставляют без изменения.
• Делить на ноль нельзя.
• У дроби a/b при a ≠ 0 обратная дробь — b/a.
• Смешанные числа перед делением переводят в неправильные дроби.
• Полученный результат можно сократить и, если нужно, выделить целую часть.