§ 1. Координаты точки на числовой прямой

Определения и обозначения

Числовая прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Эти три элемента превращают обычную линию в шкалу для чисел. По такой прямой можно не только отмечать числа, но и сравнивать их.

Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0. От неё начинают откладывать единичные отрезки влево или вправо. Обычно эту точку обозначают буквой O, но главное её свойство — координата 0.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Например, если он равен 1 см, то два таких отрезка имеют длину 2 см. Он нужен, чтобы одинаково измерять положение разных точек.

Координата точки — число, показывающее положение точки на числовой прямой относительно начала отсчёта. Координата учитывает не только расстояние, но и направление от нуля. Поэтому точку с координатой −3 записывают так: A(−3).

Как это устроено

Обычная прямая сама по себе не показывает, где находятся числа. Сначала на ней выбирают точку отсчёта, затем задают длину одного шага и направление, которое считают положительным. После этого одинаковые шаги вправо и влево получают числовые значения.

Каждой точке соответствует единственная координата, потому что от начала отсчёта до неё можно однозначно измерить направленный путь. Число единичных отрезков и положение точки между отметками задают одно конкретное число. Две разные точки не могут иметь одну координату, если начало, единичный отрезок и направление уже выбраны.

Чтобы построить точку по координате, сначала смотрят на её знак. Для положительного числа от нуля идут в положительном направлении, а для отрицательного — в противоположную сторону. Затем откладывают столько единичных отрезков, сколько показывает модуль числа, а для дробной координаты берут нужную долю отрезка.

Если положительное направление выбрано вправо, то движение вправо увеличивает координаты, а движение влево уменьшает их. Поэтому справа от нуля находятся положительные числа, а слева — отрицательные. Если точка стоит прямо в начале отсчёта, её координата равна 0 и не относится ни к положительным, ни к отрицательным.

Чтобы определить координату отмеченной точки, сначала находят нулевую отметку и проверяют направление. Затем считают единичные отрезки до точки, учитывая её сторону от нуля. Полученное число записывают в скобках после буквы: например, A(−3) означает, что A находится на трёх единичных отрезках левее нуля.

Элементы числовой прямой и координаты точек

Таблица помогает отделить элементы числовой прямой от чисел, которые получают точки. При построении сначала ищут начало отсчёта и единичный отрезок, а затем используют направление и знак координаты. При чтении готовой прямой действуют в обратном порядке: находят точку, считают шаги и записывают число.

Разбор задач

Задача 1

На числовой прямой нужно отметить точки A(3) и B(−4), если единичный отрезок равен 1 см. Координата 3 положительна, а координата −4 отрицательна. Значит, точки будут расположены по разные стороны от начала отсчёта.

1. Найдём начало отсчёта, которому соответствует число 0.
2. Для точки A(3) отложим от нуля 3 единичных отрезка вправо, то есть 3 см.
3. Для точки B(−4) отложим от нуля 4 единичных отрезка влево, то есть 4 см.
4. Проверим знаки: A находится справа и имеет положительную координату, B слева и имеет отрицательную.

Ответ: A находится на 3 см справа от нуля, B — на 4 см слева от нуля.

Задача 2

Точка C расположена на 5 единичных отрезков левее начала отсчёта, а точка D — на 2 единичных отрезка правее. Нужно определить их координаты. Направление в условии сразу подсказывает знак каждого числа.

1. Точка C находится слева от нуля, поэтому её координата отрицательна.
2. Расстояние до нуля равно 5 единичным отрезкам, значит, координата C равна −5.
3. Точка D находится справа от нуля, поэтому её координата положительна.
4. Расстояние до нуля равно 2 единичным отрезкам, значит, координата D равна 2.

Ответ: C(−5), D(2).

Задача 3

Даны точки A(−3), B(2) и C(−1). Сначала расположим их по возрастанию координат, а затем найдём расстояние между A и B. На прямой меньшая координата находится левее большей.

1. Сравним числа: −3 меньше −1, а −1 меньше 2.
2. Запишем порядок точек: A, C, B.
3. Расстояние между A и B равно модулю разности координат: |2 − (−3)|.
4. Вычислим: |2 + 3| = |5| = 5 единичных отрезков.

Ответ: A, C, B; расстояние между A и B равно 5 единичным отрезкам.

Типичные ошибки

Отрицательные числа иногда ставят справа от нуля, потому что забывают про выбранное направление. При обычном направлении вправо положительные числа идут вправо, а отрицательные — влево. Проверьте себя стрелкой: движение в сторону, где числа увеличиваются, должно быть положительным.

Некоторые считают координатой число промежутков до соседней отметки, а не положение относительно нуля. Например, у точки слева от нуля координата не может быть просто 3: нужно указать знак и получить −3. Для проверки сосчитайте шаги именно от начала отсчёта.

Ошибка в числе шагов возникает, если не учитывать длину единичного отрезка. При отрезке 2 см координата 3 строится на расстоянии 6 см от нуля, а не 3 см. Перед построением выясните, сколько сантиметров приходится на один единичный шаг.

Координату путают с расстоянием до начала отсчёта, потому что по модулю они могут совпадать. Но расстояние всегда неотрицательно, а координата точки слева от нуля отрицательна. Сравните записи: координата −4, расстояние до нуля 4 единичных отрезка.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны положительные и отрицательные числа, умение сравнивать их и знание единиц измерения длины. Координатная прямая станет основой для координатной плоскости, где положение точки задают уже двумя координатами. Она также используется при сравнении чисел, нахождении расстояний и решении уравнений.

Что запомнить

• Числовая прямая имеет начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.
• Началу отсчёта соответствует число 0.
• Справа от нуля расположены положительные числа, слева — отрицательные.
• Координата точки — число, определяющее её положение на числовой прямой.
• Точка с координатой a обозначается A(a).
• Чем правее точка расположена на числовой прямой, тем больше её координата.
• Расстояние между точками равно модулю разности их координат.