"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1. Например, 4 и ¼ обратны друг другу: 4 · ¼ = 1. Чтобы найти число, обратное дроби, меняют местами числитель и знаменатель; целое или десятичное число сначала записывают дробью. Обратное к отрицательному числу тоже отрицательное, а у нуля обратного числа нет. Это понятие помогает делить дроби и проверять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, числа 3 и ⅓ взаимно обратны, потому что 3 · ⅓ = 1. Проверка произведением помогает понять, подходит ли найденное число, а не перепутать его с другим похожим понятием.
Для ненулевого числа a обратным является число 1/a. Это значит, что a · 1/a = 1; например, обратное к 5 — число 1/5. Условие a ≠ 0 нужно потому, что на ноль делить нельзя, а ноль не может дать произведение 1.
Для дроби a/b, где a и b не равны нулю, обратной служит дробь b/a. Например, для 2/7 обратная — 7/2. Замена числителя и знаменателя позволяет получить произведение, равное единице, поэтому так можно находить обратное к любой такой дроби.
Ноль не имеет обратного числа: произведение нуля на любое число всегда равно нулю. Чтобы число было обратным, произведение должно быть равно 1, а такого результата с нулём получить нельзя. Поэтому при поиске обратного сначала проверяют, что исходное число не равно нулю.
Чтобы найти обратное к целому или десятичному числу, сначала записывают его обыкновенной дробью. Например, 6 — это 6/1, а 0,4 — это 4/10, или 2/5 после сокращения. Затем меняют местами числитель и знаменатель, потому что у дроби обратное число образуется именно такой перестановкой.
Причина перестановки видна из условия произведения, равного 1. При умножении a/b на b/a получается a · b в числителе и b · a в знаменателе, поэтому одинаковые множители сокращаются. В результате остаётся 1; если же не менять местами числитель и знаменатель, произведение обычно не будет равно единице.
У отрицательного числа при нахождении обратного сохраняют знак. Например, обратное к −3 — это −1/3, ведь (−3) · (−1/3) = 1: произведение двух отрицательных чисел положительно. Если оставить знак только у одного множителя, произведение получится отрицательным и условие не выполнится.
Найденную пару удобно проверять умножением. Если произведение равно 1, числа взаимно обратны; если нет, значит, в записи или вычислениях есть ошибка. Такая проверка подходит для целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей, в том числе отрицательных.
| Число | Обратное число | Проверка произведением |
|---|---|---|
| Положительное целое число: 5 | 1/5 | 5 · 1/5 = 1 |
| Обыкновенная дробь: 3/8 | 8/3 | 3/8 · 8/3 = 1 |
| Десятичная дробь: 0,2 | 5 | 0,2 · 5 = 1 |
| Отрицательное число: −4 | −1/4 | −4 · (−1/4) = 1 |
| Ноль: 0 | Не существует | 0 · любое число = 0 |
Сначала определи вид числа и запиши его как дробь, если это нужно. Затем переставь числитель и знаменатель, сохраняя знак, и проверь результат умножением. Для нуля обратного числа искать не нужно: оно не существует.
Нужно найти такое число, чтобы произведение с 7 равнялось 1. Целое число 7 можно записать дробью 7/1. После перестановки числителя и знаменателя получаем 1/7.
Ответ: 1/7.
В дроби 3/8 числитель равен 3, а знаменатель — 8. Для обратной дроби их нужно поменять местами. Проверка покажет, что выбранное число действительно подходит.
Ответ: 8/3.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: −2,4 = −24/10 = −12/5. Переставим числитель и знаменатель, не меняя знак, и получим −5/12. Положительное число не подойдёт: его произведение с −2,4 будет отрицательным, а нужно получить 1.
Ответ: −5/12.
Иногда обратное число путают с противоположным и просто меняют знак. Так происходит потому, что оба понятия связаны с исходным числом, но правила у них разные: у противоположных сумма равна нулю, а у обратных произведение равно 1. Проверь себя умножением: если не получилось 1, число не является обратным.
При поиске обратного к отрицательному числу иногда меняют знак только у одного множителя. Тогда один множитель положительный, другой отрицательный, и произведение получается отрицательным, а не равным 1. Сохрани минус у обратного числа и выполни проверку произведением.
В дроби можно забыть поменять местами числитель и знаменатель. Например, для 3/8 запись 3/8 не станет обратной к самой себе, ведь произведение 3/8 · 3/8 не равно 1. Перемножь исходную и найденную дроби: правильный результат должен равняться единице.
Нельзя искать обратное число к нулю, записывая 1/0 или подбирая другой множитель. Деление на ноль не определено, а произведение нуля на любое число равно нулю. Если исходное число — 0, сразу укажи, что обратного числа нет.
Для этой темы нужно уметь умножать целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, в том числе числа с разными знаками. Взаимно обратные числа пригодятся при делении дробей: деление заменяют умножением на обратное число. Умножение также позволяет проверять вычисления и отдельные шаги при решении уравнений.
Чем обратное число отличается от противоположного?
Противоположные числа отличаются только знаком: их сумма равна нулю, например, 5 и −5. Взаимно обратные числа дают при умножении 1: например, 5 и ⅕.
Как найти число, обратное целому числу?
Запиши целое число дробью со знаменателем 1, а затем поменяй местами числитель и знаменатель. Например, обратное к 7 — это 1/7, потому что 7 · 1/7 = 1.
Почему при нахождении обратного числа у дроби меняют местами числитель и знаменатель?
Если дробь равна a/b, то произведение a/b · b/a равно 1: числители и знаменатели сокращаются. Поэтому дробь b/a и является обратной к a/b, если оба числа не равны нулю.
Как найти обратное число к отрицательной десятичной дроби?
Запиши десятичную дробь в виде обыкновенной, сохрани знак и поменяй местами числитель и знаменатель. Например, обратное к −2,4 = −12/5 — число −5/12.
Почему у нуля нет обратного числа?
Чтобы число было обратным к нулю, их произведение должно равняться 1. Но ноль при умножении на любое число даёт 0, поэтому получить произведение 1 невозможно.
§13. Взаимно обратные числа
