"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Взаимно обратные числа — это числа, произведение которых равно 1. Например, 5 и 1/5 взаимно обратны: одно число в пять раз больше единицы, а другое составляет одну пятую, поэтому их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное дроби, меняют местами её числитель и знаменатель. Целые и смешанные числа сначала удобно представить дробями. Обратное число помогает делить на дроби и проверять вычисления, но для нуля его не существует.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно 1. Например, 5 и 1/5 взаимно обратны, потому что 5 · 1/5 = 1. Подойдут и числа 2/3 и 3/2: их произведение тоже равно 1. Это определение помогает понять, какие числа «отменяют» действие друг друга при умножении.
Обратное число к данному числу — такое число, при умножении на которое исходное число даёт 1. Например, для 4 обратным будет 1/4, так как 4 · 1/4 = 1. А для нуля обратного числа нет: умножение нуля на любое число даёт ноль. Определение позволяет находить обратные числа и проверять результат умножением.
Обратная дробь получается из исходной перестановкой числителя и знаменателя, если оба они не равны нулю. Например, обратная дробь для 3/8 — это 8/3. При умножении дробей числители и знаменатели перемножаются, поэтому в паре 3/8 и 8/3 множители сокращаются и получается 1. Это правило удобно применять, когда исходное число записано дробью.
Числа 5 и 1/5 взаимно обратны, потому что 5 можно записать как 5/1. Тогда 5/1 · 1/5 = 5/5 = 1. Пять единиц, разделённых на пять равных частей, дают одну целую единицу. Поэтому умножение на 1/5 как бы компенсирует умножение на 5.
Чтобы найти обратное число к дроби, поменяй местами числитель и знаменатель. Например, у 3/8 обратная дробь — 8/3, ведь (3/8) · (8/3) = 24/24 = 1. Такой способ работает, потому что каждый множитель числителя одной дроби встречается в знаменателе другой. Перед перестановкой убедись, что числитель и знаменатель не равны нулю: иначе полученная запись не будет обычной дробью.
Целое число можно представить дробью со знаменателем 1: например, 7 = 7/1. Значит, правило для дробей применимо и к целым числам: переставляем числитель и знаменатель, получаем 1/7. Проверка показывает, что 7 · 1/7 = 1. У нуля этот способ не сработает: запись 0/1 после перестановки дала бы 1/0, а делить на ноль нельзя.
Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь — дробь, у которой числитель не меньше знаменателя. Например, 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3. Теперь можно поменять местами числитель и знаменатель: обратное число равно 3/7. Если переставлять части смешанного числа напрямую, правило для дроби применить не получится, поэтому сначала нужна одна дробная запись.
У нуля нет обратного числа, потому что произведение нуля на любое число равно нулю. Чтобы число было обратным, произведение должно равняться 1, но получить единицу при умножении на ноль невозможно. Это видно и из попытки представить ноль дробью 0/1: перестановка дала бы 1/0, а такая дробь не определена. Поэтому правило перестановки не применяется к нулю.
В таблице собраны способы представить разные числа и найти для них обратные. Для обычной дроби достаточно переставить числитель и знаменатель, а целое число сначала записать дробью со знаменателем 1. Смешанное число переведи в неправильную дробь; для нуля обратного числа нет. В каждом случае проверяй найденное число умножением на исходное: результат должен быть равен 1.
| Данное число | Как представить | Обратное число | Проверка |
|---|---|---|---|
| Обыкновенная дробь | m/n, где m ≠ 0 и n ≠ 0 | n/m | (m/n) · (n/m) = 1 |
| Целое число | a = a/1, a ≠ 0 | 1/a | a · 1/a = 1 |
| Смешанное число | Перевести в неправильную дробь, например 2 1/3 = 7/3 | Для 7/3 обратное число — 3/7 | (7/3) · (3/7) = 1 |
| Ноль | 0 = 0/1 | Не существует | 0 · любое число = 0, не 1 |
Задача 1. Найти число, обратное 3/8, и проверить ответ. Нужно получить такое число, чтобы произведение с 3/8 стало единицей. У дроби числитель и знаменатель ненулевые, значит, их можно переставить местами. После этого обязательно выполним проверку.
Ответ: обратное число — 8/3. Проверка подтвердила, что произведение равно 1. Числитель и знаменатель не обязаны быть меньше единицы: обратное число тоже может быть неправильной дробью. Главное условие — произведение с исходной дробью равно 1.
Задача 2. Найти число, обратное 7, и проверить ответ. Семёрка записана целым числом, а правило перестановки относится к дробям. Представим 7 дробью со знаменателем 1 — так станет понятно, какие части нужно поменять местами.
Ответ: обратное число к 7 — 1/7. Представление 7 в виде 7/1 помогает не принять обратное число за другое целое число. Произведение исходного числа и ответа равно 1, значит, результат найден верно. Для любого ненулевого целого числа a таким же способом получается 1/a.
Задача 3. Найти число, обратное 2 1/3, и объяснить, существует ли число, обратное нулю. Смешанное число содержит целую и дробную части, поэтому сначала объединим их в одну дробь. Для второй части используем определение обратного числа: произведение должно равняться 1.
Ответ: числу 2 1/3 обратным является 3/7; у нуля обратного числа нет. В первом случае проверка умножением даёт 1. Во втором никакой выбор множителя не изменит произведение с нулём: оно всегда останется нулём. Поэтому правило перестановки для нуля применять нельзя.
Меняют местами числитель и знаменатель, не проверив, что оба ненулевые. Так можно ошибочно попытаться найти обратное к нулю и получить дробь с нулём в знаменателе, а на ноль делить нельзя. Такая ошибка появляется, если применять правило автоматически, не вспоминая его условие. Проверь, что исходное число не равно нулю, а произведение ответа и исходного числа равно 1.
Обратное число путают с противоположным. У обратного произведение с исходным равно 1, а у противоположного сумма с исходным равна 0: например, к 5 обратное — 1/5, противоположное — −5. Путаница возникает из-за похожих названий и того, что оба понятия связаны с исходным числом. Проверь, какое действие требуется: умножение или сложение.
Для целого числа иногда записывают обратное тоже целым числом, например считают, что обратное к 7 — 7 или 1. Но 7 · 7 = 49, а 7 · 1 = 7, поэтому ни один из этих ответов не даёт 1. Представь целое число как дробь 7/1 и переставь части: получится 1/7. Проверка произведением сразу обнаружит ошибку.
У смешанного числа иногда меняют местами целую и дробную части, например превращают 2 1/3 в 1/3 2. Так делать нельзя: правило перестановки относится к числителю и знаменателю одной дроби, а не к частям смешанной записи. Ошибка возникает, если пропустить перевод в неправильную дробь. Сначала вычисли 2 1/3 = 7/3, затем найди обратную дробь 3/7 и проверь умножением.
Чтобы уверенно находить обратные числа, нужно уметь умножать обыкновенные дроби и представлять целое число дробью со знаменателем 1. Эти умения позволяют проверить ответ и применить одно правило к разным видам чисел. Обратные числа используются при делении на дробь: деление заменяют умножением на обратное число. Понятие также помогает решать уравнения и проверять вычисления с дробями.
Почему произведение взаимно обратных чисел равно именно 1?
Так определены взаимно обратные числа: их произведение должно быть равно 1. Единица при умножении на любое число оставляет его без изменения, поэтому она служит результатом, который показывает взаимную «компенсацию» множителей.
Как найти число, обратное целому числу?
Представь целое число дробью со знаменателем 1: например, 7 = 7/1. Затем поменяй местами числитель и знаменатель: для 7 обратное число равно 1/7. Само целое число не должно быть нулём.
Есть ли число, обратное нулю?
Нет. При умножении нуля на любое число получается 0, а не 1. Поэтому ни одно число не может быть обратным нулю.
Чем обратное число отличается от противоположного?
Произведение числа и обратного ему равно 1. Сумма числа и противоположного ему равна 0: например, для 5 противоположное число — −5, а обратное — 1/5.
Что нужно сделать со смешанным числом перед нахождением обратного?
Сначала перевести смешанное число в неправильную дробь. После этого переставить местами её числитель и знаменатель, а результат проверить умножением.
16. Взаимно обратные числа
