17. Деление

Определения и обозначения

Частное — результат деления. Например, в записи 12 : 3 = 4 число 4 является частным. Частное числа a на b — это такое число, которое при умножении на b даёт a. Это определение помогает понимать смысл деления и проверять вычисления.

Делимое и делитель — числа, участвующие в делении: делимое делят на делитель. В записи a : b число a — делимое, а b — делитель. Делитель не может быть равен нулю, потому что деление должно отвечать на вопрос, какое число при умножении на делитель даст делимое. Если делитель нулевой, такого ответа для ненулевого делимого нет.

Число, обратное данному, при умножении на него даёт 1. Например, для дроби 3/5 обратное число — 5/3, потому что 3/5 · 5/3 = 1. Для натурального числа 4 обратное число — 1/4. Обратные числа нужны, чтобы заменять деление на дробь умножением.

Деление на дробь — действие, которое заменяют умножением делимого на число, обратное делителю. Например, при делении на 2/7 вместо деления умножают на 7/2. Так вычисление сводится к уже знакомому умножению дробей. Главное — находить обратную дробь именно для числа, на которое делят.

Как это устроено

Деление связано с умножением обратным действием. Если a : b = c, то c · b = a: частное c показывает, какое число нужно умножить на делитель b, чтобы получить делимое a. Например, 15 : 3 = 5, потому что 5 · 3 = 15. Эта связь позволяет проверить деление, не выполняя его заново: достаточно умножить найденное частное на делитель.

Пусть нужно найти частное a/b : c/d, где делитель c/d не равен нулю. Обозначим ответ через x: тогда x · c/d = a/b. Чтобы получить x, умножим обе части равенства на дробь, обратную c/d, то есть на d/c. В результате x = a/b · d/c, поэтому при делении на дробь умножают на дробь, обратную делителю.

Натуральное число тоже можно разделить на дробь, если представить его в виде дроби со знаменателем 1. Например, 6 записывается как 6/1, и выражение 6 : 3/8 превращается в 6/1 · 8/3. Такой способ подходит к любому натуральному числу и не требует отдельного правила. Он помогает увидеть, что используется то же действие, что и при делении двух дробей.

Смешанное число состоит из целой и дробной частей, поэтому перед вычислением его удобно представить одной дробью. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части, прибавляют числитель и записывают результат над прежним знаменателем. Например, 2 1/3 превращается в 7/3. После такого преобразования деление смешанных чисел выполняют по правилу деления обыкновенных дробей.

Результат проверяют умножением частного на делитель: произведение должно быть равно делимому. Такой способ работает потому, что деление и умножение связаны равенством c · b = a. Делить на ноль нельзя: если частное умножить на ноль, получится ноль, а не ненулевое делимое. Если делимое тоже равно нулю, частное не единственное, потому что любое число, умноженное на ноль, даёт ноль.

Правила деления чисел

Сначала определите, какой случай дан, и при необходимости преобразуйте натуральное или смешанное число. Затем найдите дробь, обратную делителю, и умножьте, сокращая числа, если это возможно. Для проверки перемножьте ответ с делителем.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 3/4 : 2/5. Нужно заменить деление умножением на дробь, обратную делителю. Обратной к 2/5 является 5/2, поэтому можно сразу записать произведение 3/4 · 5/2. Перед умножением проверим, есть ли числа, которые можно сократить.

1. Записываем действие как умножение: 3/4 · 5/2.
2. Сократить крест-накрест здесь нельзя: общих делителей у 3 и 2, а также у 5 и 4 нет.
3. Перемножаем числители и знаменатели: (3 · 5)/(4 · 2) = 15/8.
4. Выделяем целую часть: 15/8 = 1 7/8.

Ответ: 1 7/8. Проверка показывает, что результат должен стать равным делимому после умножения на 2/5. Действительно, 15/8 · 2/5 = 30/40 = 3/4. Значит, частное найдено верно.

Задача 2. Вычислите 6 : 3/8. Делимое — натуральное число, поэтому представим его дробью 6/1. Обратная дробь для делителя 3/8 — это 8/3. Затем умножим и сократим, чтобы получить ответ в удобной форме.

1. Записываем натуральное число дробью: 6 = 6/1.
2. Меняем деление на умножение на обратную дробь: 6/1 · 8/3.
3. Сокращаем 6 и 3 на 3: получаем 2 · 8 = 16.

Ответ: 16. Проверим: 16 · 3/8 = 48/8 = 6. Получили исходное делимое, следовательно, вычисление верное. Здесь частное больше 6, потому что деление на дробь, меньшую 1, показывает, сколько таких небольших частей укладывается в числе.

Задача 3. Вычислите 2 1/3 : 1 5/6 и проверьте результат. Оба числа смешанные, значит, сначала заменим их неправильными дробями. После этого используем обратную дробь для делителя и умножим. В конце проверим ответ умножением на исходный делитель.

1. Преобразуем первое число: 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3.
2. Преобразуем делитель: 1 5/6 = (1 · 6 + 5)/6 = 11/6.
3. Делим, умножая на обратную дробь: 7/3 : 11/6 = 7/3 · 6/11.
4. Сокращаем 6 и 3: 7 · 2/11 = 14/11 = 1 3/11.

Ответ: 1 3/11. Проверка: 14/11 · 11/6 = 14/6 = 7/3, а 7/3 — это исходное делимое 2 1/3. Значит, результат верен. При проверке удобно сначала перемножить и сократить дроби, а затем сопоставить произведение с делимым.

Типичные ошибки

Иногда переворачивают делимое вместо делителя. Это происходит, когда запоминают слова «умножить на обратную дробь», но не связывают их с тем, на какое число делят. Обратную дробь нужно брать только от делителя: в выражении 3/4 : 2/5 записывают 3/4 · 5/2. Проверить себя можно обратным действием: умножить ответ на 2/5 и убедиться, что получилось 3/4.

Другая ошибка — делить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Такой приём не является правилом деления дробей и может дать неверный результат. Сначала замените деление умножением на обратную дробь, а потом умножайте числители и знаменатели. Для самопроверки примените полученный ответ и делитель в умножении.

Если не перевести смешанные числа в неправильные дроби, легко потерять целую часть или выполнить действия не в том порядке. Перед делением преобразуйте каждое смешанное число отдельно, пользуясь правилом: целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель. Затем проверьте преобразование, выделив целую часть обратно. После этого делите дроби обычным способом.

Нельзя считать, что делить можно на ноль. Ошибка возникает из-за того, что деление воспринимают как механическое действие, не проверяя смысл частного. Но никакое число, умноженное на ноль, не даст ненулевое делимое, поэтому частного в таком случае нет. Перед вычислением посмотрите на делитель: если он равен нулю, деление выполнить нельзя.

Связь с другими темами

Чтобы делить дроби, нужно уметь умножать и сокращать обыкновенные дроби, а также находить взаимно обратные числа. Эти навыки позволяют верно заменить деление умножением и упростить вычисления. Деление дробей затем используют при решении уравнений, когда неизвестное нужно найти из произведения. Оно также помогает находить целую величину по известной дробной части, например всё количество по его половине или трети.

Что запомнить

• Деление проверяют умножением частного на делитель.
• Делить можно только на число, не равное нулю.
• Чтобы разделить на дробь, умножают на дробь, обратную делителю.
• Натуральное число при делении на дробь можно записать дробью со знаменателем 1.
• Смешанные числа перед делением переводят в неправильные дроби.
• Перед умножением дробей полезно выполнить сокращение.