"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Если известна часть числа, можно восстановить всё число. Например, если 3/5 некоторого числа равны 24, нужно понять, сколько составляют все пять пятых. Для этого известное значение делят на данную дробь или умножают на обратную ей. Такой приём помогает решать задачи о пути, массе, стоимости и времени. Главное — сначала определить, какая именно часть целого известна.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь числа — часть числа, которую находят умножением числа на данную дробь. Например, чтобы найти 3/5 от 20, нужно вычислить 20 · 3/5 = 12. Это понятие помогает отличить задачу на нахождение части от задачи на восстановление целого.
Нахождение числа по его дроби — восстановление целого числа, если известна его дробная часть. Если 3/5 числа равны 12, нужно найти не часть, а исходное число. Такое умение нужно, когда известна часть пути, массы или другой величины, а целое не указано.
Обратная дробь — дробь, полученная перестановкой числителя и знаменателя. Например, для 3/5 обратной будет 5/3. Она нужна, чтобы заменить деление на дробь более привычным умножением.
Взаимно обратные числа — числа, произведение которых равно единице. Например, 3/5 и 5/3 взаимно обратны: 3/5 · 5/3 = 1. Это свойство объясняет, почему умножение на обратную дробь отменяет умножение на исходную.
Пусть неизвестное число обозначено буквой x, а его дробь a/b равна числу c. Условие записывают так: x · a/b = c. Это равенство показывает, что известное значение c получили умножением целого на дробь. Такая запись переводит слова задачи в математическое действие и помогает не перепутать целое с его частью.
Чтобы найти x, нужно отменить умножение на a/b. Обратное действие к умножению — деление, поэтому обе части равенства делят на эту дробь: x = c : (a/b). Мы делим именно значение известной части, потому что оно получилось из целого после умножения на дробь. Если вместо деления умножить c на исходную дробь, часть станет ещё меньше, а целое не восстановится.
Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь. Например, c : 3/5 = c · 5/3, потому что 3/5 и 5/3 при умножении дают 1. В результате дробь, которая «уменьшала» число при нахождении части, действует обратно и помогает получить исходное целое. Поэтому для правила важно перевернуть делитель, а не число c.
Можно действовать в два шага: разделить известное значение на дробь или умножить его на обратную дробь. Если дано 3/5 числа, обратная дробь — 5/3, значит, вычисляем известное значение · 5/3. Тот же результат можно получить иначе: сначала разделить известное значение на числитель, а затем умножить на знаменатель. Такой порядок особенно удобен, когда деление на дробь трудно выполнить сразу.
После вычисления проверьте ответ действием, с которого начиналась задача: найдите указанную дробь от найденного числа. Если получилась исходная известная величина, решение согласуется с условием. Например, для ответа x вычислите x · a/b и сравните результат с c. Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или неверно выбранную дробь.
Таблица показывает, какое действие выбрать в зависимости от того, что именно дано в условии. В первой строке известна дробь целого и её значение, во второй — значение нескольких одинаковых частей, выраженное через числитель. После вычисления обязательно выполните проверку по соответствующей строке.
| Что известно | Что нужно найти | Действие | Общий вид записи | Проверка |
|---|---|---|---|---|
| Дробь числа и её значение | Искомое число | Разделить значение дроби на данную дробь | x = c : (a/b) = c · b/a | Найти a/b от полученного числа |
| Числитель и знаменатель дроби, величина числителя частей — c | Величина одной части и всего числа | Разделить c на числитель, затем умножить на знаменатель | x = c : a · b | Умножить найденное число на исходную дробь |
Здесь 24 — не всё число, а только его 3/5. Обозначим целое буквой x и запишем связь части с целым: 3/5 · x = 24. Чтобы восстановить x, разделим известную часть на 3/5, то есть умножим на обратную дробь 5/3.
Проверим: 3/5 от 40 равны 40 · 3/5 = 24. Получили значение из условия, значит, вычисление выполнено верно. Ответ: 40.
Слова «7/12 всего пути составило 21 км» означают, что 21 км — известная дробная часть. Пусть весь путь равен x км, тогда 7/12 · x = 21. Чтобы найти целое, разделим длину пройденной части на 7/12.
Проверка: 7/12 от 36 км равны 36 · 7/12 = 21 км. Это совпадает с расстоянием, пройденным в первый день. Ответ: длина всего пути — 36 км.
В условии 18 кг — это остаток, а не израсходованное количество. Если израсходовали 5/8, то осталось 1 − 5/8 = 3/8 всей крупы. Теперь известны значение этой дроби и сама дробь, поэтому можно восстановить первоначальное количество.
Проверим: из 48 кг осталось 3/8, то есть 48 · 3/8 = 18 кг. Условие выполняется, значит, первоначально крупы было 48 кг. Ответ: 48 кг.
Иногда известное значение умножают на исходную дробь. Так делают, когда путают нахождение части числа с восстановлением целого: умножение на дробь снова находит часть и обычно уменьшает число. Проверьте, что именно требуется найти: если известна часть, а нужно целое, делите значение части на дробь. В конце подставьте ответ в действие для нахождения части.
Другая ошибка — неверно перевернуть дробь: например, из 3/5 получить 3/1 или 1/5. При перестановке числитель и знаменатель меняются местами полностью, поэтому обратная к 3/5 — 5/3. Умножьте исходную дробь на предполагаемую обратную: если результат не равен 1, дробь перевёрнута неправильно. Это простая проверка до вычисления.
В текстовой задаче известное значение может относиться не к израсходованной части, а к оставшейся. Если израсходовали 5/8, то остаток составляет 3/8, и именно эту дробь нужно использовать, когда известно, сколько осталось. Ошибка возникает, если не прочитать, к какой части относится число в условии. Перед решением назовите эту часть словами и проверьте, что израсходованная и оставшаяся доли вместе дают 1.
Если не выполнить проверку, можно не заметить ошибку в сокращении дробей, умножении или переводе смешанного числа. Для проверки найдите исходную дробь от ответа и сравните результат с условием. Если числа не совпали, пересчитайте действия и проверьте, какую часть вы приняли за известную. При дроби меньше 1 целое должно быть больше его известной дробной части.
Для решения нужны умение находить дробь от числа, делить дроби и умножать число на обратную дробь. Эти действия знакомы по предыдущим темам и теперь помогают восстановить целое по его части. Приём встречается в задачах о расстоянии, массе, стоимости и времени, когда известна только доля величины. Позже он пригодится при решении уравнений и задач на проценты: процент тоже можно представить дробью от целого.
Почему при нахождении числа по его дроби нужно делить, а не умножать?
Чтобы найти дробь от числа, умножают число на дробь. При восстановлении числа нужно выполнить обратное действие: известное значение разделить на дробь. Например, если 3/5 числа равны 24, то всё число равно 24 : 3/5.
Как понять, какую дробь нужно перевернуть?
Переворачивают ту дробь, на которую делят: числитель и знаменатель меняют местами. Поэтому деление на 3/5 заменяется умножением на 5/3. Саму дробь из условия не меняют, когда находят её значение от уже известного числа.
Что делать, если в задаче известно, сколько осталось?
Сначала найдите, какая часть целого осталась: из 1 вычтите израсходованную или использованную дробь. Затем разделите оставшееся количество на полученную дробь. Так вы восстановите первоначальное целое.
Можно ли решать такие задачи через уравнение?
Да. Обозначьте искомое число буквой x и запишите, что известная дробь от него равна данному значению: например, 3/5 · x = 24. Решите уравнение и проверьте, что найденное число при умножении на 3/5 даёт 24.
Как проверить ответ?
Найдите указанную в условии дробь от полученного числа: умножьте число на эту дробь. Результат должен совпасть с известным значением. Если не совпал, проверьте вычисления и то, верно ли вы определили известную часть.
18. Нахождение числа по его дроби
