"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Если известна только часть числа, можно восстановить целое: для этого известную часть делят на дробь, которой она выражена. Например, если ⅗ числа равны 18, нужно вычислить 18 : ⅗. Деление на дробь заменяют умножением на обратную. Это правило помогает решать задачи о долях величин, книгах, расстоянии, времени и других предметах; результат всегда можно проверить, снова найдя дробь числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь числа — часть этого числа, полученная умножением числа на данную дробь. Например, ⅗ числа 20 равны 20 · ⅗ = 12. Понятие помогает отличить известную долю от всего числа и записать условие задачи математически.
Число по его дроби — число, для которого известна только заданная дробью часть. Если ⅗ некоторого числа равны 18, само число пока неизвестно. Это понятие нужно, чтобы понимать, что требуется восстановить целое, а не вычислить его часть.
Нахождение числа по его дроби — действие, при котором известную часть делят на соответствующую дробь. Так по известным 18 и ⅗ находят исходное число: 18 : ⅗. Это правило применяют, когда в задаче дано значение доли, а спрашивают всё количество.
Взаимно обратные числа — числа, произведение которых равно единице. Например, ⅗ и ⁵⁄₃ взаимно обратны, потому что ⅗ · ⁵⁄₃ = 1. Обратная дробь нужна, чтобы заменить деление на дробь умножением и выполнить вычисление удобным способом.
Представим, что неизвестное число разделили на равные доли и взяли несколько из них. Если известна величина этих нескольких долей, нужно понять, сколько раз она укладывается во всём числе. Деление на дробь как раз показывает, сколько таких частей содержится в известной величине относительно целого. Поэтому известную часть делят на ту дробь, которой она выражена.
Обозначим неизвестное число буквой x, а известную дробь — a⁄b. Если эта дробь числа равна c, записываем равенство x · a⁄b = c. Чтобы найти x, обе части нужно разделить на a⁄b: x = c : a⁄b. Так из условия получается общее правило, которое подходит для любых чисел, если делитель не равен нулю.
Деление на дробь заменяют умножением на обратную, потому что умножение на обратное число отменяет умножение на исходное. Дроби a⁄b и b⁄a дают при умножении единицу, поэтому c : a⁄b = c · b⁄a. Например, 18 : ⅗ = 18 · ⁵⁄₃ = 30. Переворачивают именно дробь-делитель, а не известное число.
В условии задачи нужно сначала найти, какая доля относится ко всему количеству. Слова «две третьих всех книг» означают, что известное число книг составляет ⅔ от общего числа; значит, если общее число обозначить x, получится ⅔ · x = 24. Затем известную часть делят на ⅔. Такой перевод слов в равенство помогает не перепутать искомое целое с уже известной долей.
После вычисления полезно проверить, действительно ли найденное число даёт известную часть. Для этого умножают его на дробь из условия и сравнивают результат с известным значением. Если ⅗ числа равны 18, то для ответа 30 проверка выглядит так: 30 · ⅗ = 18. Проверка выявляет ошибки в вычислениях и в выборе дроби.
| Ситуация | Что известно | Что найти | Действие | Проверка |
|---|---|---|---|---|
| Дробь a⁄b числа равна c | a⁄b числа = c | Число | c : a⁄b = c · b⁄a | Найденное число · a⁄b = c |
| Величина задана смешанным числом или десятичной дробью | Дробь предварительно представляют в удобном виде | Число | Делят известную часть на эту дробь | Результат умножения должен дать известную часть |
Сначала найдите в условии известную часть и дробь, которая её выражает. Затем разделите часть на дробь или умножьте её на обратную. В последней графе таблицы показано, как убедиться, что ответ подходит.
Известна часть числа — 18, и она составляет ⅗ целого. Обозначим целое через x: тогда ⅗ · x = 18. Чтобы восстановить целое, разделим известную часть на ⅗.
Ответ: 30.
Дробь ⁷⁄₁₂ числа равна 35, а требуется найти всё число. Деление на ⁷⁄₁₂ удобно заменить умножением на обратную дробь ¹²⁄₇. Так мы сразу получим число, которое при умножении на ⁷⁄₁₂ даст 35.
Ответ: 60.
Слова «две третьих всех книг» показывают, что 24 — не всё количество, а его часть. Обозначим число всех книг через x; получим ⅔ · x = 24. Чтобы найти целое, разделим 24 на ⅔, а затем проверим, составляет ли ⅔ ответа ровно 24 книги.
Ответ: 36 книг.
Известную часть иногда умножают на данную дробь вместо того, чтобы разделить на неё. Так путают две разные задачи: при нахождении части числа умножают, а при восстановлении целого делят. Спросите себя, что требуется найти: часть или всё число; затем проверьте действие обратным умножением.
При делении на дробь можно забыть перевернуть делитель или по ошибке перевернуть известное число. Причина обычно в том, что правило применяют механически и теряют, какое число делят. Запишите равенство c : a⁄b = c · b⁄a и проверьте, что числитель и знаменатель поменялись местами именно у дроби a⁄b.
Смешанную или десятичную дробь перед вычислением иногда неверно переводят в обыкновенную. Например, при переводе смешанного числа забывают умножить целую часть на знаменатель. Перепроверьте преобразование отдельно и только после этого находите обратную дробь; подстановка в исходное равенство также покажет ошибку.
Если не выполнить проверку, неверный ответ может остаться незамеченным. Умножьте найденное число на дробь из условия: результат должен совпасть с известной частью. Если он отличается, проверьте перевод условия, вычисление и замену деления умножением на обратную дробь.
Для нахождения числа по его дроби пригодятся умение находить дробь числа, делить дроби и умножать на обратную дробь. Это правило встречается в задачах на проценты и доли величин, а также на расстояние, время, массу и стоимость. Позже оно поможет при решении уравнений: нахождение неизвестного числа по дроби связано с нахождением неизвестного множителя.
Почему число по его дроби находят делением, а не умножением?
Дробь числа получают умножением целого на эту дробь. Чтобы восстановить целое по результату умножения, нужно выполнить обратное действие — деление. Поэтому известную часть делят на дробь.
Что делать, если данная дробь неправильная или смешанная?
Смешанное число сначала переведите в неправильную дробь, а неправильную дробь оставьте в виде отношения числителя к знаменателю. Затем разделите известную часть на эту дробь, то есть умножьте её на обратную. Перед вычислением полезно проверить, что дробь правильно переписана.
Как делить число на обыкновенную дробь?
Число умножают на дробь, обратную делителю: c : a⁄b = c · b⁄a. Например, 18 : ⅗ = 18 · ⅚? Нет: обратная к ⅗ дробь — ⁵⁄₃, поэтому 18 : ⅗ = 18 · ⁵⁄₃. При записи внимательно переворачивайте именно делитель.
Как понять по условию задачи, какую дробь нужно использовать?
Найдите слова, которые показывают, какая часть всего количества известна: например, «две третьих всех книг». Эта дробь относится к целому, а названное число обозначает известную часть. Составьте равенство: дробь от неизвестного числа равна известной величине.
Как проверить, что число найдено правильно?
Умножьте найденное число на дробь из условия. Если получится известная часть, решение верно. В задаче с величинами также проверьте, подходит ли ответ по смыслу.
Нахождение числа по его дроби
