Деление чисел, которые оканчиваются нулями, на круглые десятки, сотни и тысячи

Определения и обозначения

Круглый десяток — число, которое оканчивается одним нулём: например, 20, 70 или 340. Такие числа делятся на 10 без остатка, потому что в их записи есть множитель 10. Это свойство помогает упростить деление на 10 и находить общий множитель у делимого и делителя.

Круглая сотня — число, оканчивающееся двумя нулями, например 300 или 2500. Оно делится на 100 без остатка, поскольку содержит множитель 100. Если и делимое, и делитель оканчиваются нулями, их можно разделить на 100, чтобы получить более удобные числа.

Круглая тысяча — число с тремя нулями в конце, например 4000. Оно делится на 1000 без остатка, поэтому при подходящем делителе можно убрать три одинаковых нуля в обоих числах. Так вычисление становится короче, но значение частного сохраняется.

Частное — результат деления одного числа на другое. Например, в записи 24 : 6 = 4 частное равно 4. Если разделить делимое и делитель на одно и то же ненулевое число, частное не изменится: оба числа уменьшаются одинаково, а их отношение остаётся прежним.

Как это устроено

Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя. Например, 48 : 6 = 8: число 48 в восемь раз больше 6. Если оба числа разделить на 2, получим 24 : 3 = 8, потому что их соотношение не изменилось. То же правило работает при делении обоих чисел на 10, 100 или 1000, если они на это делятся.

Ноль в конце целого числа показывает, что число делится на 10, а два нуля — что оно делится на 100. Поэтому при делении чисел, оканчивающихся нулями, можно одновременно убрать одинаковое число нулей у делимого и делителя. Это не отдельное действие с записью, а короткий способ разделить оба числа на одну и ту же степень 10. Затем полученные числа делят обычным способом.

Убирать можно столько нулей, сколько есть в числе, у которого их меньше. Например, если в делимом два нуля, а в делителе один, можно сократить только по одному нулю. Если зачеркнуть ещё один ноль только у делимого, числа будут поделены на разные величины и частное изменится. Поэтому после сокращения проверяют, что одинаковое число нулей убрано с обеих сторон.

Если нулей в делимом было больше, часть из них останется после сокращения. Такие нули нельзя терять: полученное делимое всё ещё содержит соответствующий множитель 10. Например, после сокращения одного нуля в 5600 : 70 получается 560 : 7, а не 56 : 7. Оставшийся ноль учитывается при обычном делении и влияет на величину частного.

Иногда после сокращения нулей делитель не превращается в однозначное число. Например, если из 93600 : 1200 убрать по два нуля, останется 936 : 12. Здесь нужно выполнить деление оставшихся чисел обычным способом, не сокращая ничего без основания. Так же поступают, если делитель после сокращения оканчивается нулём: сначала можно проверить, есть ли общий ноль у обоих чисел, а затем делить результат.

Деление чисел, оканчивающихся нулями

Таблица помогает выбрать действие по количеству нулей и увидеть, что именно нужно делить после их сокращения. Сравните число нулей в делимом и делителе, затем уберите одинаковое количество с обеих сторон. Если после этого делитель остаётся многозначным, найдите частное обычным способом.

Разбор задач

Условие: вычислите 4800 : 600. В обоих числах есть нули в конце, поэтому деление можно упростить, сохранив отношение делимого к делителю. Сначала сравним число нулей, чтобы выбрать, сколько убрать. Затем выполним более простое деление и проверим результат.

1. В числе 4800 два нуля, и в числе 600 тоже два. Значит, можно разделить оба числа на 100, то есть зачеркнуть по два нуля.
2. Получаем 48 : 6. Теперь достаточно вспомнить, какое число нужно умножить на 6, чтобы получить 48.
3. Так как 6 · 8 = 48, частное равно 8. Проверим: 8 · 600 = 4800, значит, результат подходит.

Ответ: 8.

Условие: вычислите 5600 : 70. В делимом нулей больше, чем в делителе, поэтому можно сократить только один ноль в каждом числе. Второй ноль в делимом останется, и его нельзя потерять. После сокращения деление будет простым.

1. Разделим 5600 и 70 на 10: зачеркнём по одному нулю. Получится 560 : 7.
2. Разделим 56 на 7 и сохраним ноль, который остался в делимом: 560 : 7 = 80, потому что 7 · 80 = 560.
3. Проверим исходное выражение: 80 · 70 = 5600. Значит, найденное частное верно.

Ответ: 80.

Условие: вычислите 93600 : 1200. В обоих числах есть по два нуля в конце, поэтому сокращаем их попарно. Оставшиеся числа 936 и 12 уже не сводятся к делению на однозначное число, но это не мешает решить пример обычным способом. Важно делить именно полученные числа, не теряя нули раньше времени.

1. Разделим делимое и делитель на 100: 93600 : 1200 = 936 : 12.
2. Найдём частное 936 : 12. Поскольку 12 · 78 = 12 · (80 − 2) = 960 − 24 = 936, частное равно 78.
3. Проверим вычисление умножением: 78 · 1200 = 78 · 12 · 100 = 93600. Проверка подтверждает ответ.

Ответ: 78.

Типичные ошибки

Первая ошибка — зачеркнуть ноль только в делителе. Тогда делитель уменьшится, а делимое останется прежним, поэтому частное станет другим; так бывает, если ноль считают просто лишним знаком. Проверьте себя: каждое убранное число 10 должно соответствовать делению и делимого, и делителя на 10.

Вторая ошибка — зачеркнуть в двух числах разное количество нулей. В этом случае числа делят на разные степени 10, и их отношение меняется, хотя запись может выглядеть удобнее. Сосчитайте зачёркнутые нули в делимом и делителе: их должно быть поровну.

Третья ошибка — убрать все нули в обоих числах, даже если их количество различается. Например, при 5600 : 70 ноль остаётся в делимом после того, как убрали по одному нулю; если его потерять, получится неверное частное. Проверка умножением частного на исходный делитель сразу покажет, подходит ли результат.

Четвёртая ошибка — принять количество нулей за ответ и не делить оставшиеся числа. Нули помогают упростить запись, но сами по себе не показывают, сколько раз делитель содержится в делимом. После сокращения выполните деление оставшихся чисел, а затем проверьте результат умножением.

Связь с другими темами

Для этого приёма нужно знать таблицу умножения и деления: после сокращения нулей часто остаётся пример на деление небольших чисел. Также пригодятся знания о разрядах и десятичной системе счисления, где каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего. Правило о делении делимого и делителя на один и тот же ненулевой множитель объясняет, почему сокращение сохраняет частное.

Упрощение полезно при устных вычислениях и при проверке деления умножением. Оно помогает решать задачи с крупными единицами измерения, например когда нужно перевести или сравнить тысячи граммов и десятки килограммов. Если ответ кажется сомнительным, умножьте частное на исходный делитель и сравните результат с делимым.

Что запомнить

• Делимое и делитель можно разделить на одно и то же ненулевое число — частное не изменится.
• При делении чисел, оканчивающихся нулями, зачёркивают одинаковое количество нулей в делимом и делителе.
• Зачёркивают столько нулей, сколько их есть в числе с меньшим количеством нулей.
• Нули, оставшиеся в делимом, нельзя терять.
• После зачёркивания нулей оставшиеся числа делят обычным способом.
• Вычисление полезно проверить умножением частного на делитель.