"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Дробное выражение записывают в виде дроби: над чертой находится числитель, под ней — знаменатель. В числителе и знаменателе могут стоять числа и выражения с буквами. Дробная черта означает деление, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Чтобы работать с такими выражениями, нужно находить допустимые значения переменных, а затем подставлять числа и вычислять результат по порядку действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробное выражение — это выражение, записанное в виде дроби, где в числителе и знаменателе могут быть числа и буквенные выражения. Например, (x + 2)/3 — дробное выражение. Такое название помогает отличить дробь с буквами от обычной числовой дроби и понять, что для неё тоже нужно учитывать деление.
Числитель дробного выражения — выражение, стоящее над чертой дроби. В дроби (x + 2)/3 числитель — x + 2. Его нужно уметь выделять, потому что дробная черта делит именно это выражение на знаменатель.
Знаменатель дробного выражения — выражение, стоящее под чертой дроби. В дроби (x + 2)/3 знаменатель равен 3, а в 7/(a − 3) — a − 3. Знаменатель не должен принимать значение ноль, иначе деление невозможно.
Допустимые значения переменной — это значения, при которых дробное выражение имеет смысл, то есть знаменатель не равен нулю. Например, для 7/(a − 3) нельзя брать a = 3, но подходят другие значения. Поиск допустимых значений нужен перед вычислениями, чтобы не получить деление на ноль.
Дробная черта означает деление числителя на знаменатель. Например, запись 6/2 означает, что 6 делят на 2; так же понимают и выражение (x + 2)/3. Поэтому к дробным выражениям применимы правила деления, а знаменатель играет роль числа, на которое делят.
Если в знаменателе есть переменная, её значение меняет знаменатель. При одних значениях знаменатель остаётся ненулевым, а при других может обратиться в ноль. Именно поэтому выражение имеет смысл не при всех значениях переменной: случай деления на ноль нужно исключить.
Чтобы найти запрещённые значения, приравнивают знаменатель к нулю и решают полученное уравнение. Например, для выражения 7/(a − 3) составляем a − 3 = 0, откуда a = 3. При этом значении знаменатель равен нулю, значит, оно запрещено; все значения a, кроме 3, допустимы.
Если значение переменной уже задано, сначала убедитесь, что оно допустимо, а затем подставьте его вместо буквы. Например, при x = 4 выражение (x + 2)/3 превращается в (4 + 2)/3. Сначала выполняют действие в скобках, затем деление; так получают значение дробного выражения.
Буквенные выражения в числителе и знаменателе не меняют смысла дроби как деления. Число над чертой делят на число под чертой в числовой дроби, а выражение над чертой делят на выражение под ней в дробном выражении. Например, (x + 2)/3 читается как «сумму x и 2 разделить на 3».
| Что рассматриваем | Что нужно выяснить | Пример |
|---|---|---|
| Числитель | Какое выражение стоит над чертой | В (x + 2)/3 это x + 2 |
| Знаменатель | Какое выражение стоит под чертой; не равно ли оно нулю | В 7/(a − 3) это a − 3 |
| Запрещённые значения переменной | При каком значении знаменатель равен нулю | a − 3 = 0, значит, a = 3 |
| Допустимые значения переменной | Какие значения остаются после исключения запрещённых | Для 7/(a − 3): все a, кроме 3 |
| Вычисление при заданном допустимом значении | Как подставить число и выполнить действия по порядку | При x = 4: (4 + 2)/3 = 2 |
Пользуйтесь таблицей последовательно: сначала выделите числитель и знаменатель, затем проверьте, при каких значениях знаменатель становится нулём. Только после этого выбирайте допустимые значения и подставляйте заданное число.
Задача 1. Найдите значение выражения 3/5 + 1/10. Здесь складываются дроби с разными знаменателями, поэтому сначала их нужно представить в одинаковых долях. Общий знаменатель для 5 и 10 — число 10.
Ответ: 7/10. После приведения к общему знаменателю складывают числители, а знаменатель оставляют прежним.
Задача 2. Вычислите значение выражения (x + 2)/3 при x = 4. Здесь знаменатель постоянный и равен 3, поэтому подстановка x = 4 не приводит к делению на ноль. Важно сохранить скобки: они показывают, что на 3 делится вся сумма x + 2.
Ответ: 2. Проверка порядка действий помогает не разделить на 3 только число 2, забыв о слагаемом x.
Задача 3. При каких значениях a имеет смысл выражение 7/(a − 3)? Вычислите его при a = 5. Сначала найдём значение, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его; затем проверим заданное значение и подставим его.
Ответ: выражение имеет смысл при a ≠ 3; при a = 5 его значение равно 7/2. Проверка допустимости до вычисления позволяет не выполнять деление на ноль.
Ошибка — считать, что переменная в знаменателе может принимать любое значение. Так думают, если воспринимают букву как обычное число, не проверяя результат деления. Подстановка запрещённого значения может дать нулевой знаменатель, а делить на ноль нельзя. Проверьте себя: найдите, при каком значении знаменатель становится нулём.
Ошибка — подставлять число, не проверив знаменатель. Заданное значение может оказаться именно тем, которое обращает его в ноль. Сначала подставьте число только в знаменатель и проверьте результат; если получилось ноль, вычислять дробь нельзя.
Ошибка — при поиске запрещённых значений приравнивать к нулю всё дробное выражение. Для этой проверки важен знаменатель, ведь именно на него делят. Запишите уравнение только со знаменателем, приравненным к нулю, и решите его.
Ошибка — нарушать порядок действий после подстановки, например сначала делить слагаемое, хотя в скобках стоит сумма. Путаница возникает, если забыть, что скобки задают порядок вычислений. Перепишите выражение после подстановки и сначала выполните действия в скобках, а затем остальные действия по правилам.
Для работы с дробными выражениями нужно знать смысл обыкновенной дроби и деления: черта дроби обозначает деление. Также пригодятся правила вычисления числовых выражений, например порядок действий и сложение дробей с общим знаменателем. Чтобы подставлять значения переменных, нужно уметь заменять буквы числами и решать простые уравнения — в частности, находить значение, при котором знаменатель равен нулю. Эти умения понадобятся при преобразовании выражений и решении уравнений, содержащих дроби.
Что называют дробным выражением?
Дробное выражение — это выражение, записанное в виде дроби. В его числителе и знаменателе могут быть числа и буквенные выражения.
Почему знаменатель дробного выражения не может быть равен нулю?
Дробная черта означает деление числителя на знаменатель. Делить на ноль нельзя, поэтому при нулевом знаменателе выражение не имеет смысла.
Как найти значения переменной, при которых выражение не имеет смысла?
Приравняйте знаменатель к нулю и решите полученное уравнение. Найденные значения обращают знаменатель в ноль, поэтому их исключают.
Что такое допустимые значения переменной?
Это значения переменной, при которых дробное выражение имеет смысл. Для этого знаменатель должен быть отличен от нуля.
Как вычислить дробное выражение при заданном значении переменной?
Сначала проверьте, не обращает ли заданное значение знаменатель в ноль. Если значение допустимо, подставьте его вместо переменной и выполните действия по порядку.
19. Дробные выражения
