"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Отношение показывает, во сколько раз одно число или одна величина больше другой, а пропорция связывает два равных отношения. Чтобы найти отношение, первое число делят на второе; порядок чисел имеет значение. В пропорции можно проверить равенство отношений умножением крайних и средних членов. Это свойство помогает находить неизвестное число и решать задачи на масштаб, проценты и сравнение величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел — это частное этих чисел. Его записывают a : b или a / b и читают «a к b»; например, 18 : 6 = 3. Отношение помогает сравнить числа и узнать, во сколько раз первое больше второго.
В записи отношения члены — это числа, которые сравнивают: первое и второе. При вычислении отношения первое число делят на второе, поэтому a : b означает a / b. Такая запись удобна, когда нужно показать не разницу между числами, а результат их сравнения делением.
Пропорция — это равенство двух отношений. Её записывают так: a : b = c : d; например, 2 : 3 = 4 : 6. Пропорция нужна, чтобы выразить равенство двух сравнений и использовать его для проверки или поиска неизвестного числа.
В пропорции a : b = c : d первый и четвёртый члены, a и d, называют крайними, а второй и третий, b и c, — средними. Названия помогают запомнить основное свойство пропорции: при проверке перемножают отдельно крайние и средние члены. Это свойство также позволяет находить неизвестный член.
Отношение натуральных чисел можно понимать как деление: значение a : b — это частное a и b. Но оно одновременно отвечает на вопрос «во сколько раз первое число больше второго», если первое больше второго. Например, 18 : 6 = 3, значит, 18 в 3 раза больше 6; это не говорит, что разница равна 3. Такой способ сравнения полезен, когда важен масштаб или кратность, а не количество единиц разницы.
Порядок чисел в отношении задаёт, какое число делят на какое. Если поменять числа местами, частное обычно изменится: 12 : 3 = 4, но 3 : 12 = ¼. Первое отношение сравнивает 12 с 3, а второе — 3 с 12. Поэтому перестановка членов меняет не только результат, но и вопрос, на который отвечает запись.
Отношение величин одного рода не меняется, когда обе величины выражены в одинаковых единицах. Например, отношение 2 м к 50 см нельзя вычислять, пока единицы разные: сначала переводим 2 м в 200 см, затем получаем 200 : 50 = 4. Если вместо сантиметров взять миллиметры, отношение останется тем же: 2000 : 500 = 4. Равное изменение единиц у обеих величин не меняет результат деления.
Пропорция связывает два отношения, имеющих одинаковое значение. Её основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть для a : b = c : d выполняется a · d = b · c. Например, для 3 : 5 = 12 : 20 произведения равны: 3 · 20 = 60 и 5 · 12 = 60. Свойство следует из равенства отношений и позволяет проверить пропорцию без деления дробей.
Это свойство помогает найти неизвестный член пропорции. Сначала записывают равенство произведений, затем оставляют неизвестное с множителем в одной части равенства. Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель. Например, если 7 : 9 = x : 27, то 7 · 27 = 9x, откуда x = 7 · 27 : 9. Такой порядок действий сохраняет связь между членами пропорции.
| Понятие или свойство | Запись | Что означает или как применять |
|---|---|---|
| Отношение чисел a и b | a : b = a / b | Первое число делят на второе; результат сравнивает числа. |
| Отношение величин одного рода | a единиц : b единиц | Перед делением величины выражают в одинаковых единицах. |
| Пропорция a : b = c : d | a : b = c : d | Равенство двух отношений. |
| Крайние и средние члены пропорции | a : b = c : d | a и d — крайние, b и c — средние. |
| Основное свойство пропорции | a · d = b · c | Произведение крайних равно произведению средних. |
| Нахождение неизвестного члена пропорции | Из равенства a · d = b · c | Составить равенство произведений и разделить на известный множитель. |
Сначала найди в таблице нужную запись: для сравнения чисел используй отношение, а для равенства двух отношений — пропорцию. Если работаешь с величинами, проверь единицы измерения до вычислений. Неизвестный член ищи через равенство произведений крайних и средних.
Нужно разделить первое число на второе, потому что именно так определено отношение. Затем частное истолковываем как сравнение «во сколько раз». Порядок чисел здесь задан словами «18 к 6», поэтому менять его нельзя.
Ответ: 18 : 6 = 3; первое число в 3 раза больше второго.
Не нужно сразу делить каждую пару чисел. Для проверки применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно равняться произведению средних. В записи 3 : 5 = 12 : 20 крайние члены — 3 и 20, средние — 5 и 12.
Ответ: числа составляют пропорцию 3 : 5 = 12 : 20.
Неизвестное x является третьим членом, а 7 и 27 — крайние члены. Составим равенство произведений крайних и средних, а затем найдём неизвестный множитель. После вычисления полезно подставить результат в пропорцию и проверить равенство произведений.
Ответ: x = 21.
Перестановка чисел. Если изменить порядок членов, изменится делимое и делитель, а значит, обычно изменится значение отношения. Ошибка возникает, когда запись воспринимают как пару чисел без порядка. Проверь себя: первое число в записи должно стоять в делимом, а смысл сравнения должен соответствовать условию.
Разные единицы измерения. Нельзя делить, например, метры на сантиметры, не согласовав единицы. Такая ошибка появляется, когда числа выглядят готовыми к вычислению, хотя за ними стоят разные единицы. Перед делением переведи величины в одни и те же единицы и проверь, что сравниваются величины одного рода.
Неверно найдены крайние и средние члены. В записи a : b = c : d крайние — первый и четвёртый члены, а средние — второй и третий. Если перепутать их, равенство произведений получится неправильным. Подпиши члены по порядку и только потом перемножай: a · d должно сравниваться с b · c.
Неверное деление при поиске неизвестного. После составления равенства произведений нужно разделить на известный множитель при неизвестном, а не на случайно выбранный член пропорции. Ошибка часто возникает из-за пропуска последнего шага или путаницы в множителях. Проверь вычисление обратной подстановкой: оба произведения должны совпасть.
Для работы с отношениями нужно уметь делить натуральные числа и десятичные дроби. Также важно переводить величины в одинаковые единицы измерения, например метры в сантиметры. Эти умения позволяют правильно вычислять отношения и не путать их значения.
Отношения и пропорции используются в задачах на масштаб, проценты, прямую пропорциональность и пропорциональное деление. В таких задачах равенство отношений помогает перейти от известных величин к неизвестным. Например, можно вычислить расстояние на местности по карте или разделить количество в заданном отношении.
Чем отношение отличается от разности?
Разность показывает, на сколько одно число больше или меньше другого: её находят вычитанием. Отношение показывает, во сколько раз одно число отличается от другого, и его находят делением.
Почему в отношении важно, какое число записано первым?
Первое число делят на второе, поэтому при перестановке чисел меняется делимое и делитель. Например, 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼: это разные сравнения.
Можно ли сравнивать отношением величины, выраженные в разных единицах?
Сначала их нужно выразить в одинаковых единицах. Например, нельзя сразу делить 2 метра на 50 сантиметров; после перевода получаем 200 см : 50 см = 4.
Как быстро проверить, верна ли пропорция?
Нужно умножить крайние члены и отдельно средние. Если произведения равны, пропорция верна; если не равны — неверна.
Как найти неизвестный член пропорции?
Составь равенство произведений крайних и средних членов. Затем раздели известное произведение на известный множитель, который стоит рядом с неизвестным в этом равенстве.
§4. Отношения и пропорции
