"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Отношение двух чисел — это частное, которое помогает сравнить их не по разности, а по тому, во сколько раз одно число больше другого или какую часть составляет от другого. Его записывают через двоеточие или дробью, причём порядок чисел имеет значение. Отношения используют и для сравнения величин, но сначала их выражают в одинаковых единицах. Разберём, как находить и понимать такие отношения, в том числе когда результат меньше единицы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношением двух чисел называют их частное: отношение числа a к числу b записывают как a:b или a/b. Здесь a — первое число, b — второе, причём b ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Такая запись нужна, чтобы выразить сравнение чисел через деление, а не через вычитание.
Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго. Например, частное 3 и 8 равно 3/8: три составляет три восьмых от восьми. Значение отношения помогает ответить на вопрос о сравнении, даже если первое число меньше второго.
В записи a:b число a называют предыдущим членом отношения, а число b — последующим. Предыдущий член стоит первым и делится на последующий, который стоит вторым. Названия помогают не перепутать порядок чисел при чтении и вычислении отношения.
Отношение величин — это частное их числовых значений, но сравнивать так можно лишь величины, выраженные в одинаковых единицах. Например, метры сначала переводят в сантиметры или сантиметры в метры. Это условие нужно, чтобы делить сопоставимые значения и получить правильный результат.
Сравнить два числа можно по-разному: вычитанием узнать, на сколько они различаются, или делением выяснить, во сколько раз одно больше другого. Именно поэтому отношение записывают как частное первого числа и второго. Если 12 разделить на 4, получится 3: это означает, что первое число в три раза больше второго.
Если первое число меньше второго, частное оказывается меньше единицы. Такое число удобно понимать как часть целого: например, 3/8 означает, что 3 составляет три восьмых от 8. Чтобы ответить на вопрос «какую часть?», первое число записывают числителем, второе — знаменателем и, если возможно, сокращают дробь.
Порядок членов нельзя менять, потому что деление не даёт один и тот же результат при перестановке чисел. В отношении 12:4 спрашивают, во сколько раз 12 больше 4, а в отношении 4:12 — какую часть 4 составляет от 12. Эти отношения обратны друг другу: если первое равно 3, второе равно 1/3.
Для отношения величин нужно сначала привести оба значения к одной единице измерения. Иначе числовые значения относятся к разным единицам, и их частное не будет корректно показывать сравнение. После перевода первое значение делят на второе, сохраняя порядок величин из условия.
Запись a:b и дробь a/b обозначают одно и то же отношение, а его значение получают делением a на b. Двоеточие удобно, когда нужно назвать отношение, а дробная черта сразу показывает действие деления. Какая бы запись ни использовалась, сначала определи, что стоит на первом и втором месте.
| Что сравниваем | Запись | Как найти | Что показывает |
|---|---|---|---|
| Два числа | a и b | Разделить a на b | Во сколько раз a больше b или какую часть b составляет a |
| Отношение a к b | a:b или a/b | Вычислить частное a/b, b ≠ 0 | Результат сравнения первого числа со вторым |
| Отношение величин с одинаковыми единицами | Например, 150 см:30 см | Разделить первое значение на второе | Во сколько раз первая величина больше второй |
| Обратное отношение | b:a или b/a | Поменять числа местами и разделить первое на второе | Сравнение в обратном порядке |
Сначала посмотри, что именно сравнивают, и проверь, одинаковы ли единицы измерения. Затем прочитай запись слева направо: первое значение делится на второе. Последний столбец помогает сформулировать результат словами.
Нужно сравнить первое число 12 со вторым числом 4 с помощью частного. Такое сравнение отвечает на вопрос, во сколько раз первое число больше второго. Поэтому порядок 12:4 сохраняем и делим именно 12 на 4.
Ответ: 12:4 = 3; первое число больше второго в 3 раза.
Первое число меньше второго, поэтому результат деления будет меньше единицы. Это не означает, что отношение найти нельзя: оно показывает, какую часть от 8 составляет число 3. Записываем первым числителем 3, а вторым числом, на которое делим, — 8.
Ответ: отношение равно 3/8, то есть 3 составляет три восьмых от 8.
В условии сравниваются метры и сантиметры, а числовые значения в разных единицах напрямую делить нельзя. Сначала переведём обе величины в сантиметры: так их значения будут выражены одинаково. Затем найдём частное первого значения и второго и объясним, что оно означает.
Ответ: отношение равно 5. Нельзя сразу делить 1,5 на 30, потому что исходные значения выражены в разных единицах.
Перестановка членов меняет отношение: a:b и b:a отвечают на разные вопросы. Ошибка возникает, когда читают числа невнимательно и не замечают, какое названо первым. Для проверки проговори запись словами и убедись, что делишь именно первое число на второе.
Отношение иногда принимают за разность, потому что оба действия сравнивают числа. Но разность получают вычитанием и отвечают на вопрос «на сколько», а отношение получают делением и отвечают «во сколько раз» или «какую часть». Проверь себя: если в решении вычитали, а требовалось найти отношение, нужно пересчитать.
При сравнении величин можно ошибочно разделить числа, записанные в разных единицах. Обычно так происходит, если замечают только числовые значения и пропускают обозначения метров, сантиметров или других единиц. Подчеркни единицы в условии и перед делением приведи обе величины к одной из них.
Второй член отношения не может быть нулём, так как это деление на ноль. Иногда ноль ставят в знаменатель или на второе место, не проверив, что означает запись. Перед вычислением проверь последующее число; если оно равно нулю, такое отношение не определено.
Чтобы находить отношения, нужно уметь делить натуральные числа и обыкновенные дроби, а также понимать смысл частного. Эти знания помогают вычислить значение отношения и объяснить его, а перевод единиц нужен при сравнении величин. Позже отношения станут основой для изучения пропорций и масштаба, а также пригодятся в задачах на проценты и сравнение величин.
Что показывает отношение двух чисел?
Отношение первого числа ко второму показывает, во сколько раз первое больше второго. Если первое меньше второго, отношение показывает, какую часть от второго составляет первое.
Чем отношение отличается от разности?
Разность находят вычитанием и она показывает, на сколько одно число отличается от другого. Отношение находят делением и оно показывает, во сколько раз числа отличаются или какую часть одно составляет от другого.
Почему важно не менять местами числа в отношении?
В отношении a:b первое число делят на второе, а в отношении b:a — второе на первое. Поэтому результат и смысл сравнения меняются; такие отношения называют взаимно обратными.
Как найти отношение величин, выраженных в разных единицах?
Сначала переведи обе величины в одинаковые единицы, например метры в сантиметры. Затем раздели первое значение на второе.
Можно ли записать отношение в виде дроби?
Да. Отношение a к b записывают как a:b или как дробь a/b, где b ≠ 0. Значение отношения находят делением a на b.
20. Отношения
