"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Отношение показывает результат деления одного числа на другое и помогает сравнивать числа или однородные величины. Его записывают a:b или a/b: первое число делят на второе, причём второе не должно быть нулём. Чтобы найти отношение величин, сначала переводят их в одинаковые единицы. Отношение можно сокращать, деля оба его члена на одно и то же ненулевое число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел — это частное от деления одного числа на другое, причём второе число не равно нулю. Его записывают a:b или a/b, и обе записи означают действие a делить на b. Отношение нужно, чтобы сравнивать числа не только по разности, но и по тому, во сколько раз одно из них больше другого.
Члены отношения — числа a и b в записи a:b. Число a называют первым членом, а число b — вторым. Порядок здесь важен: если поменять числа местами, получится другое отношение.
Значение отношения — это частное, полученное при делении первого члена на второй. Например, значение отношения 15:3 равно 5. Именно по значению можно узнать, во сколько раз первый член больше или меньше второго.
Отношение величин — это отношение их числовых значений, выраженных в одинаковых единицах. Например, метры сначала переводят в сантиметры или обе длины выражают в метрах. Это правило нужно потому, что сравнивать можно только числа, относящиеся к одной и той же единице измерения.
Отношение определяют через деление, потому что деление показывает, сколько раз одна величина содержится в другой. В записи a:b число a сравнивают с числом b именно так: находят, сколько единиц b укладывается в a. Поэтому значение 4 говорит, что первый член в 4 раза больше второго, если оба числа положительны.
Чтобы работать с записью a:b, сначала определяют порядок чисел. Стоящее слева число a — первый член, а стоящее справа число b — второй; затем выполняют a:b. Например, в отношении 20:5 значение равно 4, а в отношении 5:20 — ¼, хотя используются те же числа.
При отношении величин единицы приводят к общему виду до деления. Например, 2 м нельзя непосредственно заменить числом 2 рядом с 50 см: эти числа измеряют длину разными единицами. После перевода 2 м в 200 см частное 200:50 уже корректно описывает сравнение.
Оба члена отношения можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, потому что такой множитель сокращается в частном: (a·k):(b·k) = a:b. Поэтому 12:18 можно разделить на 6 и получить 2:3. Это действие называют сокращением отношения и используют, чтобы записать его проще.
Отношение удобно для сравнения чисел и величин, когда нужно узнать не разность, а кратность. Значение больше 1 означает, что первый член больше второго во столько-то раз, а значение меньше 1 — что первый член меньше второго. Например, 8 кг:2 кг = 4, значит, масса 8 кг в 4 раза больше массы 2 кг.
| Что рассматривается | Запись | Как найти значение | Что показывает |
|---|---|---|---|
| Отношение двух чисел | a:b или a/b | Разделить a на b, b ≠ 0 | Во сколько раз a больше или меньше b |
| Первый и второй члены отношения | a:b | Первый член стоит слева, второй — справа | Порядок выполнения деления |
| Отношение величин | числовое значение первой величины : числовое значение второй | Сначала выбрать одинаковые единицы, затем разделить | Кратное сравнение однородных величин |
| Отношения с одинаковым значением | 12:18 = 2:3 | Сократить оба члена на общий делитель | Одно и то же сравнение в разных записях |
| Изменение обоих членов отношения | a:b = (a·k):(b·k) | Умножить или разделить оба члена на k ≠ 0 | Значение отношения не меняется |
Сначала найдите в таблице вид отношения и проверьте порядок его членов. Затем пользуйтесь третьим столбцом: он подсказывает, какие единицы выбрать и какое действие выполнить.
Последний столбец помогает правильно истолковать полученное число. Если запись можно сократить, значение останется прежним, но сравнение станет удобнее.
Найдём значение отношения 18:6 и объясним его смысл. Запись с двоеточием заменяем делением, сохраняя порядок чисел. Затем переведём результат с языка вычислений на язык сравнения.
Ответ: 18:6 = 3. Это отношение показывает, что первый член в три раза больше второго.
Найдём отношение 2 м к 50 см. Величины однородные, потому что обе измеряют длину, но их единицы различаются. Поэтому сначала переведём метры в сантиметры.
Ответ: 2 м:50 см = 4. Длина 2 м в 4 раза больше длины 50 см.
В классе 12 девочек и 18 мальчиков. Требуется составить отношение числа девочек к числу мальчиков и отношение числа мальчиков ко всем ученикам. Сначала определим нужные числа, затем сократим каждое отношение.
Ответ: отношение девочек к мальчикам равно 2:3, а отношение мальчиков ко всем ученикам — 3:5. Сокращение не меняет смысла сравнения, потому что оба члена разделены на одно и то же число.
Иногда первый член делят на второй наоборот. Так происходит, если не замечают порядок записи a:b. Проверьте себя: число слева всегда должно стать делимым, а число справа — делителем.
В отношении величин могут сразу делить 2 м на 30 см. Ошибка появляется из-за того, что сравнивают числа, записанные в разных единицах. Перед вычислением подпишите единицы и убедитесь, что они одинаковы.
Нельзя сокращать только один член или вычитать одно и то же число из обоих членов. Такие действия меняют частное, тогда как отношение сохраняется при умножении или делении обоих членов на одно и то же ненулевое число. Для проверки выполните деление до и после преобразования.
Второй член иногда принимают равным нулю. Но запись a:0 не имеет значения, потому что деление на ноль не определено. Перед вычислением посмотрите на делитель и убедитесь, что он не равен нулю.
Для отношений нужны навыки деления, сокращения дробей и перевода величин в одинаковые единицы. Значение отношения можно записать обыкновенной или десятичной дробью, поэтому тема связана с действиями над дробями.
Отношения используются при изучении пропорций и масштаба. Они помогают описывать, какая часть величины приходится на другую величину и как связаны размеры на плане и в действительности.
В задачах на проценты, скорость, прямую и обратную пропорциональность отношение помогает сравнивать величины. Например, скорость — это отношение пройденного пути ко времени.
Чем отношение отличается от дроби?
По смыслу отношение a:b и дробь a/b обозначают одно и то же деление. Но отношение чаще используют для сравнения двух чисел или величин, а дробь может также обозначать часть целого.
Почему нельзя сравнивать 2 м и 30 см без перевода в одинаковые единицы?
Числа 2 и 30 относятся к разным единицам, поэтому их частное не показывает правильное сравнение длин. Нужно перевести, например, 2 м в 200 см, а затем вычислить 200:30.
Можно ли поменять местами члены отношения?
Обычно нельзя: отношения a:b и b:a дают разные значения. Например, 12:3 = 4, а 3:12 = ¼.
Почему при сокращении отношения делят оба его члена на одно и то же число?
Так сохраняется результат деления. Если разделить только один член, изменится частное и это будет уже другое отношение.
Что показывает значение отношения?
Оно показывает, во сколько раз первый член больше или меньше второго. Например, значение 5 означает, что первый член в 5 раз больше второго.
§ 3. Отношения
