"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Отношение двух чисел — это частное, которое помогает сравнивать их не вычитанием, а делением. Запись a:b показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть от второго оно составляет. Порядок чисел важен, а второе число не может быть нулём. Чтобы сравнивать величины, сначала выражают их в одинаковых единицах. Понимание отношений помогает решать задачи о частях целого, масштабе и процентах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел a и b — это частное этих чисел: a:b = a/b. Здесь b ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя. Такое обозначение позволяет сравнить числа делением, а не вычитанием.
Числа a и b в записи a:b называют членами отношения. Первое число — предыдущий член, второе — последующий. Названия помогают не перепутать порядок: сначала делят предыдущее число на последующее.
Отношение величин — частное двух величин, например длины и длины. Перед делением их выражают в одинаковых единицах: метры переводят в сантиметры или наоборот. Иначе числа относятся к разным единицам измерения, и такое деление нельзя правильно истолковать.
Значение отношения — результат деления, который показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть оно составляет от второго. Например, значение ¼ означает, что первое число составляет четверть второго. Это помогает понять не только ответ, но и сравнение величин.
Запись a:b означает, что число a нужно разделить на b, поэтому отношение можно записать дробью a/b и вычислить. Например, 12:4 = 12/4 = 3. Запись дробью удобна, когда нужно выполнить деление или упростить отношение.
Частное можно истолковать двумя способами — смысл зависит от сравниваемых чисел. Если первое больше второго, частное показывает, во сколько раз первое больше: например, 15:5 = 3. Если первое меньше второго, частное показывает, какую часть оно составляет: 5:15 = ⅓.
Умножение обоих членов на одно и то же число не меняет значения отношения: (a·k):(b·k) = a:b, если k ≠ 0. При делении обоих членов на одно и то же ненулевое число результат тоже сохраняется. Это происходит потому, что множитель или делитель сокращается при вычислении частного; поэтому отношение 24:36 можно заменить на 2:3.
Чтобы найти отношение величин, заданных в разных единицах, сначала переводят их в одну единицу. Например, нельзя сразу делить 15 сантиметров на 2 метра как числа 15 и 2: метр содержит 100 сантиметров. После перевода получаем 15 см:200 см, а затем выполняем деление.
Отношение помогает сравнивать части количества, если правильно указать, какое количество сравнивают с каким. Для этого записывают числа в порядке условия, вычисляют частное и проверяют смысл ответа: больше ли первая часть, меньше ли она или составляет известную долю второй. Такая проверка помогает заметить перестановку чисел или ошибку в вычислениях.
| Случай | Запись | Что показывает | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Отношение двух чисел | a:b | Сравнение чисел делением | Второй член не равен нулю |
| Отношение как частное | a:b = a/b | Результат деления a на b | Порядок членов сохраняется |
| Равносильное отношение | a:b = (a·k):(b·k) | То же значение отношения | Оба члена меняют одинаково |
| Отношение величин | 15 см:200 см | Сравнение величин | Сначала приводят единицы к одинаковым |
Сначала найдите в задаче сравниваемые числа и установите их порядок, затем выберите нужную строку таблицы. Перед вычислением отношения величин проверьте единицы, а для сокращения отношения меняйте оба члена одинаково.
Задача 1. Найти отношение 18 к 6 и объяснить его смысл. Здесь требуется сравнить первое число со вторым делением, поэтому записываем именно 18:6. Полученное частное можно истолковать как ответ на вопрос «во сколько раз?», так как 18 больше 6.
Ответ: отношение равно 3; 18 в 3 раза больше 6.
Задача 2. Найти отношение 15 см к 2 м. Делить числа 15 и 2 сразу нельзя: сантиметры и метры — разные единицы. Переведём метры в сантиметры, а затем вычислим и сократим полученное отношение.
Ответ: отношение равно 3:40, его значение — 0,075. Значит, 15 см составляют 3/40 от 2 м.
Задача 3. В двух коробках 24 и 36 карандашей. Записать отношение числа карандашей в первой коробке к числу во второй и привести его к равному отношению с меньшими членами. Сначала соблюдаем заданный порядок: первой коробке соответствует 24, второй — 36. Чтобы получить меньшие члены и сохранить значение, найдём общий делитель этих чисел.
Ответ: 24:36 = 2:3.
Меняют местами члены и вместо a:b записывают b:a. Так бывает, если не заметить слова «первого к второму»; частное при перестановке обычно меняется. Проверьте, соответствует ли первый член первому предмету или величине из условия.
Делят только один член отношения на число. Тогда меняется значение частного, хотя ученик может считать, что просто уменьшил числа. Проверьте, что оба члена умножены или разделены на один и тот же ненулевой множитель.
Делят величины в разных единицах, например сантиметры на метры, не переводя их. Числа выглядят готовыми к делению, поэтому единицы легко упустить. Подпишите единицы и убедитесь, что они совпадают до вычисления.
Забывают, что второй член отношения не может быть нулём. Ошибка возникает, когда запись воспринимают как обычное сравнение, а не как деление. Проверьте делитель: если он равен нулю, отношение не определено.
Чтобы находить отношения, нужно уметь делить натуральные числа и понимать обыкновенную дробь: отношение можно записать как дробь. Позже оно поможет разбираться в пропорциях и масштабе, где сравнивают соответствующие числа или длины. Отношения также используют в задачах на проценты и совместное распределение величин: по ним узнают, как соотносятся части и целое.
Чем отношение отличается от разности двух чисел?
Разность получают вычитанием и узнают, на сколько одно число больше другого. Отношение получают делением и узнают, во сколько раз числа различаются или какую часть одно составляет от другого.
Почему в отношении важен порядок чисел?
В отношении a:b первое число делят на второе, а в b:a — второе на первое. Эти частные обычно разные, поэтому порядок должен соответствовать условию задачи.
Можно ли делить оба члена отношения на одно и то же число?
Можно, если это число не равно нулю и оба члена делятся на него. Значение отношения не изменится, потому что частное двух чисел при таком делении останется прежним.
Что делать, если величины заданы в разных единицах?
Сначала перевести обе величины в одинаковые единицы измерения. Затем записать отношение и выполнить деление.
Как понять, что показывает значение отношения?
Если частное больше 1, первое число во столько раз больше второго, сколько показывает частное. Если частное меньше 1, оно показывает, какую часть первое число составляет от второго.
§19. Отношения
