§20. Пропорции

Определения и обозначения

Отношением двух чисел называют частное этих чисел: отношение a к b записывают дробью a/b или через двоеточие — a:b. Число b не должно быть равно нулю, потому что на ноль делить нельзя. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. Запись в виде дроби помогает сравнивать отношения и применять правила работы с дробями.

Равенство двух отношений называют пропорцией: a:b = c:d. Это означает, что оба отношения имеют одно и то же значение, то есть дроби a/b и c/d равны. Например, равные отношения позволяют описать одинаковое соотношение величин в разных ситуациях. Пропорция нужна, чтобы проверить такое соответствие или найти неизвестное значение.

В пропорции a:b = c:d числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними членами. Крайние стоят на первом и последнем местах, средние — между ними. Названия помогают не перепутать, какие числа нужно перемножать по основному свойству. Если записать отношения дробями, крайние окажутся в числителе одной дроби и знаменателе другой.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть a · d = b · c. Это правило позволяет работать с пропорцией без сравнения дробей напрямую. Если один член неизвестен, равенство произведений превращается в уравнение, из которого его можно найти. Также свойство удобно использовать для проверки, является ли равенство отношений пропорцией.

Как это устроено

Чтобы проверить, равны ли отношения, запишем их как дроби и сравним: 2:3 = 4:6 означает, что 2/3 = 4/6. Дробь 4/6 можно сократить на 2, и получится 2/3, поэтому отношения равны. Такое сравнение работает, потому что запись через двоеточие обозначает деление. Можно также проверить равенство произведений крайних и средних членов.

В записи a:b = c:d крайние члены — a и d, а средние — b и c. Это расположение удобно увидеть в виде дробей: a/b = c/d. Если перемножить числитель первой дроби со знаменателем второй и знаменатель первой с числителем второй, получатся соответственно a · d и b · c. Поэтому названия членов связаны с тем, как их используют при проверке пропорции.

Основное свойство получается из равенства дробей. Если a/b = c/d и знаменатели не равны нулю, умножим обе части на b · d: слева останется a · d, а справа — b · c. Значит, a · d = b · c. Это объясняет, почему в пропорции перемножают именно крайние между собой и средние между собой, а не соседние числа.

Чтобы найти неизвестный член, сначала составь равенство произведений, а потом раздели обе части на известный множитель при неизвестном. Например, если x:12 = 5:3, то крайние — x и 3, средние — 12 и 5, поэтому 3x = 60 и x = 20. Проверим: 20:12 = 5:3, потому что обе дроби равны 5/3. Подстановка показывает, что найденное число подходит.

В задаче о прямо пропорциональных величинах увеличение одной величины во столько же раз увеличивает и другую. Например, если цена за килограмм одна и та же, стоимость зависит от массы одинаковым образом. Запиши отношения соответствующих величин в одном порядке: стоимость к массе для первой покупки равна стоимости к массе для второй. Полученная пропорция связывает известные данные с неизвестным и позволяет применить основное свойство.

Пропорция: обозначения и способы применения

Сначала найди крайние и средние члены, затем выбери соответствующую строку таблицы. Формулы для неизвестного члена получаются из равенства произведений, поэтому полезно уметь восстановить этот переход. Перед вычислением проверь, что известный делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, является ли равенство 6:9 = 10:15 пропорцией. Сравним дроби 6/9 и 10/15: обе сокращаются до 2/3, значит отношения равны. Проверка через произведения даёт тот же результат: крайние члены — 6 и 15, средние — 9 и 10.

1. Перемножим крайние: 6 · 15 = 90.
2. Перемножим средние: 9 · 10 = 90.
3. Произведения равны, значит, равенство отношений является пропорцией.

Ответ: да, 6:9 = 10:15 — пропорция. Проверка произведений удобна, когда дроби трудно сокращать, а сравнение дробей показывает смысл равенства.

Задача 2. Найти x из пропорции x:12 = 5:3. Неизвестное x — крайний член, поэтому по основному свойству его произведение с другим крайним числом равно произведению средних. Полученное уравнение решим делением, а затем подставим результат в исходную запись.

1. Определим члены: крайние — x и 3, средние — 12 и 5.
2. Запишем основное свойство: 3x = 12 · 5.
3. Вычислим произведение: 3x = 60.
4. Разделим обе части на 3: x = 20.
5. Проверим: 20 · 3 = 12 · 5, то есть 60 = 60.

Ответ: x = 20. Проверка подтверждает, что найденное число сохраняет равенство отношений.

Задача 3. За 4 кг яблок заплатили 280 рублей. Сколько стоят 7 кг по той же цене за килограмм? Масса и стоимость прямо пропорциональны: если масса увеличивается, стоимость при неизменной цене за килограмм увеличивается во столько же раз. Составим отношения стоимости к массе, чтобы порядок величин в обеих частях совпадал.

1. Обозначим стоимость 7 кг буквой x рублей.
2. Составим пропорцию: 280/4 = x/7.
3. По основному свойству: 280 · 7 = 4x.
4. Вычислим: 1960 = 4x, поэтому x = 1960/4 = 490.
5. Проверим смысл: 7 кг больше 4 кг, значит, стоимость должна быть больше 280 рублей; 490 рублей этому условию соответствует.

Ответ: 7 кг яблок стоят 490 рублей. Одинаковая цена за килограмм означает, что на каждый килограмм приходится одна и та же стоимость.

Типичные ошибки

Крайние и средние члены иногда путают, потому что числа в записи пропорции стоят рядом. В a:b = c:d крайние — a и d, а средние — b и c. Чтобы проверить себя, перепиши равенство дробями a/b = c/d и отметь числа, которые нужно перемножить крест-накрест.

Другая ошибка — перемножать соседние числа или смешивать члены разных видов. Так делают, если не следят за порядком записи или запоминают правило без понимания. Сверь результат с основным свойством: произведение крайних должно равняться произведению средних. Если выбраны не те числа, правило не выполнено.

При поиске неизвестного члена можно неверно разделить произведение. Ошибка возникает, когда сразу пытаются угадать действие, не записав уравнение. Сначала получи равенство произведений, например 3x = 60, и только потом раздели на множитель при x. Подстановка найденного числа покажет, верно ли решено уравнение.

В задачах иногда составляют отношения в разном порядке: например, стоимость делят на массу в одном отношении, а массу на стоимость — в другом. Так теряется соответствие между величинами, и пропорция не описывает условие задачи. Выбери порядок заранее и сохраняй его в обеих частях, например стоимость к массе. Затем проверь, согласуется ли ответ с условием.

Связь с другими темами

Для работы с пропорциями нужны понятия отношения чисел и обыкновенной дроби, а также умение распознавать равные дроби. Эти знания объясняют, почему равные отношения можно записать как равенство дробей и как получается основное свойство. Пропорции, в свою очередь, применяют в задачах на прямую пропорциональность, масштаб и проценты. Они также помогают работать с подобными фигурами, у которых соответствующие размеры относятся одинаково.

Что запомнить

• Пропорция — это равенство двух отношений.
• В пропорции a:b = c:d числа a и d — крайние члены, b и c — средние.
• Произведение крайних членов равно произведению средних.
• Неизвестный член пропорции находят с помощью основного свойства.
• При составлении пропорции важно сохранять соответствие и порядок величин.
• Полученный ответ полезно проверять подстановкой и по смыслу задачи.