§21. Процентное отношение двух чисел

Определения и обозначения

Процентное отношение двух чисел — это отношение первого числа ко второму, выраженное в процентах. Если первое число обозначить a, а второе b, то процентное отношение записывают как a : b и переводят в проценты; при этом b ≠ 0. Второе число называют основой сравнения: именно его принимают за 100%. Это определение помогает точно понять, какую часть одной величины составляет другая.

Процентное выражение отношения — запись отношения в процентах: отношение умножают на 100%. Например, отношение 12 : 60 равно 0,2, а его процентное выражение — 0,2 · 100% = 20%. Умножение на 100% переводит долю в проценты, поэтому можно сравнивать часть с целым в привычной форме. Такой способ подходит для натуральных чисел и дробей.

Как это устроено

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, второе число принимают за 100%. Это удобно, потому что процент всегда показывает долю от некоторого целого. Затем выясняют, какую часть этого целого составляет первое число: для этого находят отношение первого числа ко второму.

Полученное отношение обычно показывает долю в виде числа, например 0,3. Чтобы выразить такую долю в процентах, её умножают на 100%, то есть 0,3 соответствует 30%. Поэтому правило таково: чтобы найти, сколько процентов число a составляет от числа b, нужно a разделить на b и результат умножить на 100%. Краткая запись: a : b · 100%, где b не равно нулю.

С десятичными дробями действуют по тому же правилу. Например, 1,2 составляет от 4 величину 1,2 : 4 · 100% = 0,3 · 100% = 30%. Если делить неудобно, можно перенести запятую в обоих числах на одинаковое количество знаков, чтобы получить целые числа: отношение 0,6 к 1,5 равно отношению 6 к 15. Равные преобразования не меняют значение отношения.

С обыкновенными дробями тоже можно сначала выполнить деление, а можно привести числа к удобному виду. Например, ½ составляет от ¾: (½) : (¾) = (½) · (4/3) = 2/3, а 2/3 · 100% = 66⅔%. При делении на дробь умножают на обратную дробь. Такой способ помогает не путать само отношение и его процентное выражение.

Результат показывает, какое число больше, если сравнивать первое со вторым. При a < b процентное отношение меньше 100%, при a = b оно равно 100%, а при a > b — больше 100%. Например, результат 125% означает, что первое число на четверть больше основы сравнения, а не то, что вычисление неверно. Это особенно полезно при сравнении данных, когда одна величина может превысить другую.

В практической задаче сначала нужно определить, что считается целым, то есть основой сравнения. Доля выполненной работы — это выполненная часть по отношению ко всей работе, а доля учеников с хорошей оценкой — их число по отношению ко всему классу. При сравнении товаров важно выбрать нужный период или количество за основу. Затем составляют отношение и выражают его в процентах.

Нахождение процентного отношения двух чисел

Сначала найди в условии число, которое служит основой сравнения, и проверь, что оно не равно нулю. Затем выполни действие из первой строки таблицы. В конце сверь результат со второй строкой: например, если первое число меньше второго, ответ должен быть меньше 100%.

Разбор задач

Сколько процентов число 12 составляет от числа 60?

Нужно выяснить, какую долю от 60 составляет число 12, поэтому 60 будет основой сравнения. Делим сравниваемое число на основу, а частное переводим в проценты. Так можно проверить не только вычисление, но и смысл ответа: 12 меньше 60, значит, результат должен быть меньше 100%.

1. Запишем отношение: 12 : 60 = 0,2.
2. Умножим частное на 100%: 0,2 · 100% = 20%.
3. Проверим: 12 меньше 60, а 20% меньше 100%, значит, ответ подходит.

Ответ: 12 составляет 20% от 60.

В классе 24 ученика, 18 из них посетили музей. Сколько процентов учеников посетили музей?

Вопрос относится ко всему классу, поэтому целое — это 24 ученика. Число 18 показывает часть этого целого, и его нужно делить на 24, а не наоборот. Поскольку посетили музей не все ученики, результат должен быть меньше 100%.

1. Составим отношение посетивших музей учеников ко всему классу: 18 : 24.
2. Выполним деление: 18 : 24 = 0,75.
3. Переведём долю в проценты: 0,75 · 100% = 75%.

Ответ: музей посетили 75% учеников класса.

В январе магазин продал 80 одинаковых товаров, а в феврале — 100. На сколько процентов февральское количество продаж составляет январское?

Сравнивают февральское количество с январским, значит, за основу берут январские 80 товаров. Первым числом будет февральское количество — 100, а вторым, на которое делят, — 80. Так как 100 больше 80, результат должен оказаться выше 100%: это покажет, что февральские продажи составили больше январских.

1. Составим отношение: 100 : 80.
2. Выполним деление: 100 : 80 = 1,25.
3. Умножим результат на 100%: 1,25 · 100% = 125%.
4. Сделаем вывод: февральское количество составляет 125% январского.

Ответ: 125%.

Типичные ошибки

Переставляют числа в отношении и делят основу сравнения на сравниваемую величину. Так случается, если не разобрать, что именно означает вопрос «сколько процентов от чего». Перед вычислением подпиши числа: часть и целое, февраль и январь или выполненная и вся работа. Если поменять порядок, ответ будет относиться уже к другому вопросу.

Иногда на делении останавливаются и записывают частное как ответ в процентах. Например, 12 : 60 = 0,2, но это не 0,2%, а 20%. Проверь, что после вычисления частного ты умножил его на 100% и указал знак процента. Доля меньше единицы обычно превращается в число процентов, меньше 100.

Нельзя делить на ноль, но иногда основание сравнения выбирают, не читая условие. Если второе число равно нулю, процентное отношение к нему не определено. Сначала реши, какое количество принимается за 100%, и проверь, что оно ненулевое. Тогда деление имеет смысл и ответ можно истолковать.

Ещё одна ошибка — считать, что результат обязательно меньше или равен 100%. Такое ожидание возникает, когда процент связывают только с частью целого. Если первое число больше основы сравнения, отношение превышает 100%. Сверь числа до вычисления: для 100 и 80 результат обязан быть больше 100%, а для 80 и 100 — меньше.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что процент — одна сотая часть целого, и уметь находить проценты от числа. Также пригодятся деление натуральных чисел, десятичных и обыкновенных дробей: именно деление помогает найти долю одной величины от другой. Процентное отношение используют, когда сравнивают изменения величин, скидки, доли выполненной работы или данные о количестве товаров. Оно помогает перевести сравнение в понятную форму «столько-то процентов».

Что запомнить

• Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
• Чтобы найти процентное отношение a к b, вычисляют a : b · 100%.
• Число b, с которым сравнивают, должно быть ненулевым.
• Если a = b, процентное отношение равно 100%.
• Если a < b, процентное отношение меньше 100%.
• Если a > b, процентное отношение больше 100%.