"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Процентное отношение показывает, сколько процентов составляет одно число от другого. Чтобы его найти, первое число делят на второе и результат умножают на 100%. Второе число служит основанием сравнения и не должно быть нулём. Такой способ помогает сравнивать части и целые, даже когда первое число больше второго. Если сравниваются величины с единицами измерения, сначала их приводят к одинаковым единицам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процентное отношение двух чисел — это отношение первого числа ко второму, выраженное в процентах. Второе число называют основанием сравнения: от него ищут долю, поэтому оно должно быть отлично от нуля. Например, в вопросе «сколько процентов составляет 18 от 60?» сравнивают 18 с 60, а основание — 60.
Процент — одна сотая часть целого. Поэтому 1% = 0,01 = 1/100, а 100% соответствуют целому. Эта связь помогает переводить проценты в десятичную дробь и обратно: например, 25% — это 25/100, или 0,25.
Процентным выражением отношения называют результат умножения отношения двух чисел на 100%. Так находят, сколько процентов составляет одно число от другого. Запись (a / b) · 100% означает: сначала разделить a на b, затем выразить полученную долю в процентах; при этом b ≠ 0.
Чтобы узнать, какую часть первое число составляет от второго, первое число делят на второе. Деление сравнивает величины относительно основания: частное показывает, сколько таких частей содержится в первом числе по отношению ко второму. Частное может быть меньше единицы, равно ей или больше неё — это зависит от того, меньше первое число второго, равно ему или больше.
Одного деления недостаточно, если ответ требуется именно в процентах: частное записано как число, показывающее долю целого. Единичное отношение означает, что первое число равно основанию, а такое целое составляет 100%. Поэтому отношение умножают на 100%, переводя его в процентную запись; например, доля 0,4 превращается в 40%.
Для чисел a и b, где b ≠ 0, формула процентного отношения имеет вид (a / b) · 100%. Число a — сравниваемое: именно о нём задают вопрос «сколько процентов составляет?». Число b — основание сравнения, то есть величина, от которой ищут долю; поэтому важно не менять числа местами.
Процентное отношение может быть больше 100%, и это не ошибка. Если первое число больше второго, частное a / b больше единицы, а после умножения на 100% получается больше 100%. Например, 45 составляет от 30 полтора целых, то есть 150%: первое число больше основания в 1,5 раза.
Если числа обозначают величины с единицами измерения, перед делением их приводят к одним и тем же единицам. Иначе в числителе и знаменателе окажутся несопоставимые значения, и вычисление не даст нужного отношения. Например, при сравнении 2 м и 50 см сначала можно перевести 2 м в 200 см, а затем делить 200 на 50.
| Что известно | Что требуется найти | Действие | Результат |
|---|---|---|---|
| Первое число a и ненулевое второе число b | Какую часть a составляет от b | Разделить a на b | Отношение a / b |
| Процентное отношение a к b | Процентное отношение a к b | Умножить a / b на 100% | (a / b) · 100% |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала найди отношение, разделив первое число на основание сравнения. Затем умножь частное на 100%, чтобы получить процентный ответ. Перед вычислением проверь, что основание не равно нулю, а единицы измерения совпадают.
Нужно узнать, какую долю число 18 составляет от 60, поэтому основанием сравнения будет 60. Сначала делим сравниваемое число на основание, а затем переводим частное в проценты умножением на 100%. Проверим, что результат меньше 100%: 18 действительно меньше 60.
Ответ: 18 составляет 30% от 60. Это разумно: 18 меньше 60, значит, доля должна быть меньше целого, то есть меньше 100%.
Вопрос задан о числе 45, значит, оно будет первым числом; основание сравнения — 30. Используем ту же формулу, хотя здесь сравниваемое число больше основания. Поэтому ожидаем результат больше 100%: 45 содержит больше одного полного числа 30.
Ответ: 45 составляет 150% от 30. Значение больше 100%, потому что 45 больше основания 30 в полтора раза.
Сравниваем число красных карандашей с числом синих, поскольку вопрос спрашивает, сколько процентов красные составляют от синих. Значит, 24 — первое число, а 56 — основание сравнения. Числа относятся к одинаковым единицам, поэтому можно сразу вычислять.
Ответ: число красных карандашей составляет примерно 42,86% от числа синих. Ответ приблизительный, потому что отношение 3/7 записали десятичной дробью с округлением.
Первая ошибка — разделить второе число на первое. Так меняется основание сравнения, и получается ответ на другой вопрос: например, 60 от 18 — не то же самое, что 18 от 60. Ошибку допускают, когда не определяют, о каком числе спрашивают. Перед вычислением подпиши числа: сравниваемое поставь первым, основание — вторым.
Вторая ошибка — остановиться после деления и записать десятичную дробь как ответ в процентах. Например, частное 0,3 показывает долю, но не процентное отношение. Это происходит, если забыть, что единица соответствует 100%. Проверь формулу: после деления обязательно умножь результат на 100% и укажи знак процента.
Третья ошибка — считать, что процентный ответ обязательно меньше или равен 100%. Такое ожидание неверно, если первое число больше основания: отношение тогда больше единицы, а процентное отношение превышает 100%. Чтобы проверить себя, сравни числа до вычисления: при a > b ответ должен быть больше 100%.
Четвёртая ошибка — сравнивать величины в разных единицах или брать за основание не то число. Например, нельзя напрямую делить значение в метрах на значение в сантиметрах, а в вопросе «сколько процентов A от B» основанием служит B. Ошибку предотвращают две проверки: сначала переведи величины в одинаковые единицы, затем найди, от какого числа требуется процент.
Для этой темы нужно уметь находить отношение двух чисел, делить натуральные и десятичные числа, а также переводить проценты в дроби. Эти знания помогают понять, почему сначала выполняют деление, а затем получают процентную запись. Процентное отношение пригодится при решении задач на изменение величин, например при сравнении нового значения со старым. Оно также помогает сопоставлять результаты и анализировать доли в таблицах и диаграммах.
Как понять, какое из двух чисел нужно поставить в знаменатель?
Спроси себя: «От какого числа я ищу часть?» Это число и будет основанием сравнения, его записывают в знаменателе. Например, чтобы узнать, сколько процентов составляет 18 от 60, делят 18 на 60.
Почему при нахождении процентного отношения нужно умножать на 100%?
Сначала деление показывает, какую часть одно число составляет от другого. Единица соответствует целому, то есть 100%, поэтому отношение умножают на 100%, чтобы получить ответ в процентах.
Может ли процентное отношение быть больше 100%?
Да. Если первое число больше основания сравнения, их отношение больше единицы. После умножения на 100% получится значение больше 100%.
Чем процентное отношение отличается от обычного отношения двух чисел?
Обычное отношение — это результат деления первого числа на второе; оно показывает, во сколько раз одно число отличается от другого или какую часть составляет. Процентное отношение — это то же отношение, выраженное в процентах: его умножают на 100%.
Что делать, если сравниваемые величины выражены в разных единицах?
Сначала переведи обе величины в одинаковые единицы, например метры в сантиметры. Только после этого дели первое значение на второе: иначе отношение будет некорректным.
5.3. Процентное отношение двух чисел
