"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Изменить число на заданный процент — значит прибавить к нему или вычесть из него часть, найденную от исходного числа. Например, при увеличении на 15% к числу добавляют пятнадцать сотых от него, а при уменьшении на 15% эту часть вычитают. Для короткой записи используют умножение на 1 + p/100 или 1 − p/100. Эти правила помогают считать наценки, скидки и другие изменения величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процент — одна сотая часть числа; 1% числа равен его одной сотой. Чтобы найти 1% от числа, его делят на 100, а чтобы найти p% — умножают одну сотую на p. Например, 1% от 80 равен 0,8, а 15% — 12. Это определение помогает увидеть, какую именно часть числа нужно прибавить или вычесть.
Увеличение числа на данное количество процентов — прибавление к числу указанного процента от исходного числа. Исходным называют то число, которое было до изменения. Например, при увеличении 80 на 15% сначала находят 15% именно от 80, а затем прибавляют найденную часть. Так можно описать наценку или рост величины.
Уменьшение числа на данное количество процентов — вычитание из числа указанного процента от исходного числа. Сначала находят нужную часть первоначального значения, а потом убирают её. Например, уменьшение цены на 10% означает, что от прежней цены вычитают одну десятую этой цены. Такое описание используют, когда речь идёт о скидке или снижении величины.
Чтобы увеличить число на p%, сначала находят p% от исходного числа, а затем прибавляют эту часть. Процент показывает не отдельное число, которое нужно добавить, а долю от того, что было сначала. Например, 15% от 80 — это 12, поэтому к 80 прибавляют 12. Получается 92, то есть число стало больше на нужную долю.
Чтобы уменьшить число на p%, находят p% от исходного числа и вычитают эту часть. Причина та же: процент задаёт долю первоначального значения, а не величину снижения сам по себе. Если цена равна 2400 рублей, то 12% скидки — это 12% от 2400, а не 12 рублей. После вычисления скидки её вычитают из первоначальной цены.
Увеличение на p% можно записать умножением исходного числа на 1 + p/100, а уменьшение — на 1 − p/100. При увеличении к целому исходному числу добавляется доля p/100, поэтому получается множитель 1 + p/100. При уменьшении остаётся доля 1 − p/100. Например, увеличение на 20% — это умножение на 1,2, а уменьшение на 20% — на 0,8.
При нескольких последовательных изменениях проценты каждый раз считают от числа, полученного на предыдущем шаге. Это происходит потому, что после первого изменения исходная величина уже стала другой. Например, если увеличить 100 на 10%, получится 110; уменьшение этого результата на 10% составляет 11, а не 10. Поэтому после двух действий останется 99, а не 100.
Результат увеличения или уменьшения удобно проверять сравнением с исходным числом. При увеличении на положительный процент ответ должен быть больше, а при уменьшении — меньше. Такая оценка позволяет заметить ошибку знака или вычислений, даже если точный ответ ещё не проверен. Например, результат скидки не может оказаться выше прежней цены.
| Действие | Как найти p% от числа a | Действие с исходным числом | Краткая запись |
|---|---|---|---|
| Увеличить a на p% | a · p/100 | Прибавить найденную часть к a | a · (1 + p/100) |
| Уменьшить a на p% | a · p/100 | Вычесть найденную часть из a | a · (1 − p/100) |
Сначала выбери строку по условию задачи: нужно увеличить число или уменьшить. Затем найди процент от исходного числа и выполни указанное действие либо сразу используй краткую запись. В последнем столбце p записывают числом, например для 15% вместо p подставляют 15.
Нужно найти число после увеличения, а не просто прибавить к 80 число 15. Сначала вычислим, какая часть от исходного значения равна 15%. Затем прибавим её к 80. Проверим, что результат больше исходного числа.
Ответ: 92. Число увеличилось на 12, что составляет 15% от исходных 80. Ответ больше 80, поэтому он согласуется с условием увеличения.
Снижение на 12% означает, что от первоначальной цены нужно отнять 12% этой цены. Можно отдельно вычислить скидку, а можно найти долю цены, которая осталась: 100% − 12% = 88%. Второй способ сразу даёт множитель 0,88. Выполним вычисления обоими способами для проверки.
Ответ: 2112 рублей. Новая цена меньше 2400 рублей, как и должно быть после уменьшения. Обратите внимание: 12% считали от первоначальной цены, а не от получившейся цены.
При увеличении на 20% новое значение составляет 100% + 20% = 120% исходного числа. Значит, 90 — это не исходное число, к которому нужно применить ещё какое-то увеличение, а 120% исходного значения. Чтобы восстановить целое по его 120%, разделим 90 на 1,2. Вычитать 20% от 90 нельзя: эти 20% должны быть найдены от исходного числа.
Ответ: исходное число равно 75. Проверка подтверждает, что увеличение 75 на 20% даёт 90. Деление позволяет вернуться от 120% к 100% исходного значения.
Ошибка: прибавить или вычесть число процентов напрямую, например вычислить 80 + 15. Так поступают, потому что смешивают запись процента с обычным числом. Но 15% от 80 — это 12, поэтому нужно прибавить 12, а не 15. Проверь себя: вычисленная часть должна быть именно указанным процентом от исходного числа.
В обратной задаче иногда находят процент от конечного результата. Так происходит, когда забывают, что процент изменения относится к исходному числу. Например, если после увеличения на 20% получено 90, то 90 — это 120% исходного значения. Для проверки нужно разделить 90 на 1,2 и убедиться, что увеличение найденного числа на 20% даёт 90.
При нескольких изменениях можно по ошибке каждый раз считать процент от первоначального числа. Это кажется удобным, потому что в условии снова встречается тот же процент, но после первого шага значение уже изменилось. Процент второго изменения находят от текущего числа. Проверь решение: перед каждым новым вычислением определи, какое значение было непосредственно перед этим изменением.
Увеличение и уменьшение на одинаковый процент не уничтожают друг друга. Ошибка возникает, если считать, что прибавленная и вычтенная части равны. На самом деле после увеличения процент для уменьшения берут от большего числа. Например, увеличение 100 на 10% даёт 110, а уменьшение 110 на 10% — 11; итог равен 99. Сравнение с исходными 100 помогает заметить, что возврата не произошло.
Чтобы решать такие задачи, нужно уметь находить процент от числа и переводить проценты в десятичную дробь. Например, 12% записывают как 0,12, а оставшиеся после скидки 88% — как 0,88. Эти умения позволяют считать изменение не только по шагам, но и одним умножением.
Процентные изменения встречаются в задачах о скидках и наценках, изменении цен и численности, а также других величин. Понимание того, от какого значения вычисляют процент, помогает сравнивать изменения и находить исходную величину по результату. Такие же рассуждения пригодятся в повседневных расчётах.
Как найти p% от числа?
Раздели число на 100, чтобы найти 1%, а затем умножь результат на p. Например, 15% от 80: 80 : 100 · 15 = 12.
Почему при увеличении на проценты нужно прибавлять процент от исходного числа?
Указанный процент показывает, какую часть исходного числа добавляют. Поэтому сначала находят эту часть, а потом прибавляют её к исходному числу.
Как записать уменьшение на проценты одним умножением?
Число a после уменьшения на p% равно a · (1 − p/100). Например, уменьшить на 12% — значит умножить на 0,88.
Почему увеличение на 10%, а затем уменьшение на 10% не возвращает исходное число?
После увеличения исходное число становится больше, и следующие 10% считают уже от этого нового числа. Поэтому вычитаемая часть оказывается больше, чем часть, прибавленная сначала.
Как найти исходное число, если известен результат его увеличения или уменьшения на проценты?
Представь результат как известную долю исходного числа. При увеличении на p% это 1 + p/100 исходного числа, при уменьшении — 1 − p/100; результат нужно разделить на соответствующий множитель.
5.4. Увеличение и уменьшение числа на данное количество процентов
