5.2. Нахождение процентов от числа и числа по известному количеству процентов от него

Определения и обозначения

Процент — одна сотая часть числа. Запись 1% = 1/100 = 0,01 показывает, что целое можно разделить на сто равных частей, каждая из которых составляет один процент. Например, 1% от 500 равен 5. Это понятие позволяет выражать части целого удобным способом.

Процент от числа — часть числа, соответствующая заданному количеству процентов. Чтобы найти p% от числа, число делят на 100 и умножают на p. Например, 20% от некоторой суммы — это двадцать сотых этой суммы. Такое действие нужно, когда известно целое и требуется вычислить его часть.

Число по его проценту — целое число, которое находят, если известна его часть, выраженная в процентах. Например, если известно, что 12 составляет 20% некоторого числа, то нужно восстановить число целиком. Это понятие помогает решать задачи, в которых часть дана, а целое неизвестно. Для него используют действие, обратное нахождению процента от числа.

Процентная часть числа — результат нахождения заданного процента от числа. Если от числа 80 нашли 25%, то 20 — его процентная часть, а 80 — исходное число. Процентная часть меньше целого, когда берут меньше 100%, и равна целому при 100%. Понимание связи между частью и целым помогает выбрать нужный способ решения.

Как это устроено

Чтобы найти 1% числа, его делят на 100. Это следует из смысла процента: целое состоит из ста равных частей, а одна такая часть и есть 1%. Например, в числе 700 содержится 100 одинаковых частей по 7, поэтому 1% равен 7. Зная одну сотую, можно получить любое целое количество процентов.

Пусть требуется найти p% от числа a. Сначала делим a на 100 и находим 1%, затем умножаем результат на p, потому что p процентов — это p таких частей. Получаем формулу (a : 100) · p, которую записывают короче: a · p/100. Например, при p = 15 берут пятнадцать сотых от a. Такой порядок действий показывает, откуда берётся формула, а не просто предлагает её запомнить.

Если известная часть b составляет p% от неизвестного числа, то один процент равен b : p. Чтобы восстановить целое, нужно взять сто таких частей: (b : p) · 100. То же правило можно записать как b · 100/p или b : (p/100). Например, если 18 составляет 12%, деление 18 на 12 показывает величину одного процента, а умножение на 100 возвращает всё число.

При поиске целого известная процентная часть рассматривается как доля p/100 от целого. Если целое обозначить a, то b = a · p/100; чтобы найти a, нужно разделить b на p/100. Деление на долю логично: целое должно быть больше своей части, если доля меньше единицы. Результат можно проверить обратным действием — найти p% от полученного числа и сравнить ответ с b.

Выбирая действие, сначала выясни, какое значение дано. Если известно целое число и спрашивают, сколько составляет от него p%, находи часть по формуле a · p/100. Если известна часть и сказано, что она составляет p% от некоторого числа, восстанавливай целое: b · 100/p. Слова «от числа» сами по себе не определяют действие — важны известные данные и вопрос задачи. Полезно перед вычислением коротко назвать, что в задаче является целым, а что частью.

Нахождение процента от числа и числа по его проценту

Пользуйся таблицей, сначала определив, что дано: целое число или его процентная часть. Затем выбери подходящую строку и подставь известные значения в формулу. После вычисления проверь, отвечает ли результат вопросу задачи.

Разбор задач

Найти 15% от 240

Здесь известно целое число 240, а требуется найти его часть. Удобно сначала вычислить, сколько составляет 1%, то есть разделить 240 на 100. Затем берём 15 таких частей, потому что нужен пятнадцатый процент. Так мы используем смысл процента, а не умножаем число на 15 без деления на 100.

1. Найдём 1%: 240 : 100 = 2,4.
2. Найдём 15%: 2,4 · 15 = 36.

Ответ: 36. Проверка по общей формуле даёт 240 · 15/100 = 36. Значит, вычислено именно 15% от исходного числа.

Число 18 составляет 12% некоторого числа. Найти это число

В задаче известна часть 18 и её размер — 12% от неизвестного целого. Значит, нельзя искать 12% от 18: число 18 уже является процентной частью. Сначала выясним, сколько составляет 1%, разделив 18 на 12. Затем увеличим эту часть в 100 раз, чтобы получить целое.

1. Найдём 1% неизвестного числа: 18 : 12 = 1,5.
2. Найдём 100%: 1,5 · 100 = 150.

Ответ: 150. Проверим: 12% от 150 равны 150 · 12/100 = 18. Получили известную процентную часть, поэтому число найдено верно.

В классе 30% учеников занимаются в театральном кружке. Это 9 учеников. Сколько учеников в классе?

Число 9 — не весь класс, а часть, составляющая 30% от общего числа учеников. Поэтому нужно восстановить целое, а не находить процент от 9. Деление 9 на 30 даст количество учеников, соответствующее 1%, а умножение результата на 100 — количество учеников во всём классе. Запишем вычисления по шагам, чтобы было видно, как от части перейти к целому.

1. Найдём 1% от числа учеников: 9 : 30 = 0,3.
2. Найдём 100%: 0,3 · 100 = 30.
3. Проверим: 30% от 30 равны 30 · 30/100 = 9.

Ответ: в классе 30 учеников. Проверка совпала с условием: театральный кружок посещают 9 учеников, то есть 30% класса. Если по смыслу задачи количество людей получилось дробным, стоит дополнительно проверить вычисления и исходные данные.

Типичные ошибки

При нахождении p% от числа иногда умножают число на p и забывают разделить на 100. Так процент принимают за обычное число, хотя p% — это p/100. Чтобы проверить себя, сравни запись с формулой a · p/100 и оцени результат: при p меньше 100 часть обычно меньше исходного числа. Например, 15% от 240 не могут равняться 3600.

При восстановлении целого известную часть могут умножить на p/100 вместо деления на эту долю. Такой способ снова находит часть от известного числа, а не всё число. Проверь смысл: если b составляет, например, 30% целого, целое должно быть больше b. После вычисления найди заданный процент от ответа и сравни его с известной частью.

Ещё одна ошибка — перепутать, что дано в задаче: целое или его процентная часть. Тогда выбирают формулу для другого типа задачи, даже если вычисления выполнены безошибочно. Перед решением подпиши значения: «целое», «процент» и «часть», а затем реши, что требуется найти. Сопоставь формулу с вопросом: a · p/100 ищет часть, а b · 100/p — целое.

Иногда ответ не проверяют, и ошибка в вычислениях остаётся незамеченной. При поиске числа по его проценту нужно вычислить заданный процент от найденного целого. Если он не равен известной части, проверь порядок действий и деление. Проверка также помогает заметить ответ, который не подходит по смыслу задачи.

Связь с другими темами

Для работы с процентами нужно уметь делить и умножать натуральные числа и десятичные дроби, а также понимать обыкновенную дробь как часть целого. Основа темы — запись процента дробью со знаменателем 100 и нахождение дроби от числа: p% соответствует p/100. Эти знания помогают разобраться, почему процент от числа находят умножением на такую дробь. Способы пригодятся в задачах о скидках, цене и составе величин, а позднее — при изучении пропорций.

Что запомнить

• 1% = 1/100 = 0,01.
• Чтобы найти p% от числа a, вычисли a · p/100.
• Чтобы найти число, если известны его p% и процентная часть b, вычисли b · 100/p.
• При нахождении целого известную процентную часть делят на соответствующую долю.
• Сначала выясни, дано целое или его часть.
• Проверяй ответ нахождением заданного процента от найденного числа.