"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Среднее арифметическое помогает заменить набор чисел одним числом, которое показывает общий уровень значений. Его находят так: складывают все числа и делят сумму на их количество. Это похоже на равномерное распределение общего запаса: каждому достаётся поровну. Среднее удобно для сравнения результатов измерений, оценок и других данных, но при объединении групп нужно учитывать, сколько наблюдений приходится на каждое значение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Среднее арифметическое — это число, равное сумме нескольких величин, делённой на их количество. Например, если сложить все результаты измерений и разделить сумму на число измерений, получится среднее. Так можно представить равномерное распределение общего итога: каждому значению досталась бы одинаковая доля. Это помогает заменить несколько чисел одним удобным для сравнения числом.
Среднее значение — величина, которая характеризует набор данных одним числом. Оно даёт общее представление о наборе, но не описывает каждое значение по отдельности. Среднее не обязательно совпадает с одним из исходных чисел: например, среднее чисел 2 и 3 равно 2,5. Поэтому его нельзя всегда понимать как какое-то реально наблюдавшееся значение.
Среднее арифметическое двух чисел — половина их суммы: числа складывают и делят на 2. Оно находится между этими числами, если они различны, потому что половина суммы делит расстояние между ними поровну. Например, у чисел 4 и 10 среднее равно 7: от 7 до каждого числа по 3. Это свойство помогает проверить ответ и увидеть среднее как точку равновесия.
Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, сложи их, а затем раздели полученную сумму на количество чисел. Сначала пересчитай значения, иначе можно выбрать неверный делитель. Например, в наборе 5, 7 и 9 три числа, поэтому сумму 21 нужно делить на 3. Деление на количество — обязательная часть правила, а не дополнительное действие по желанию.
Почему делят именно на количество? Сумма показывает общий итог, а деление на число значений распределяет этот итог между ними поровну. Если 24 страницы прочитаны за 4 дня и нужно узнать среднее за день, число 24 делят на 4. Получается 6 страниц: столько приходилось бы на каждый день при одинаковом чтении. Реальные дневные результаты при этом могли отличаться.
Среднее двух чисел можно представить как точку равновесия. Если одно число больше другого, их среднее отстоит от каждого на одинаковое расстояние: часть «перевеса» большого числа уравновешивает меньшее. Например, у 6 и 16 среднее равно 11, а расстояния до концов равны 5. Поэтому для двух чисел среднее лежит между ними или совпадает с ними, если числа одинаковы.
Среднее зависит от всех чисел набора. Если одно значение сильно больше остальных, оно увеличивает общую сумму и может заметно поднять среднее; очень маленькое значение, наоборот, может его уменьшить. Например, добавление к числам 5, 6 и 7 числа 30 резко меняет среднее. Поэтому одного среднего иногда недостаточно, чтобы понять, насколько сильно различаются сами значения.
В практической задаче сначала выясни, какие именно величины нужно усреднить и сопоставимы ли они. Нельзя бездумно смешивать, например, результаты, относящиеся к разным единицам измерения. Учитывай и число наблюдений: среднее группы из 20 человек основано на большем количестве результатов, чем среднее группы из 2 человек. При объединении таких групп каждый результат должен получить одинаковый вклад.
В таблице собраны записи для двух, трёх и любого количества чисел. Буквы обозначают числа, а n — количество значений в наборе. Сначала подставь данные в подходящую запись, затем выполни действия в указанном порядке.
| Ситуация | Что сделать | Запись |
|---|---|---|
| Среднее двух чисел a и b | Сложить числа и разделить на 2 | (a + b) / 2 |
| Среднее трёх чисел a, b и c | Сложить числа и разделить на 3 | (a + b + c) / 3 |
| Среднее n чисел | Сложить все числа и разделить сумму на их количество | (a₁ + a₂ + … + aₙ) / n |
Задача 1. Найти среднее арифметическое чисел 8 и 14. Нужно узнать, какая одинаковая доля получилась бы у каждого, если распределить сумму этих чисел поровну. Значений два, поэтому сумму делим на 2. Затем проверяем, что ответ находится между исходными числами.
Ответ: 11.
Задача 2. За пять дней ученик прочитал 12, 15, 9, 14 и 10 страниц. Сколько страниц в среднем он читал за день? Среднее за день нужно найти по всему количеству прочитанных страниц, а не по одному удачному или неудачному дню. Всего наблюдений пять, поскольку учёт вёлся пять дней.
Ответ: в среднем ученик читал 12 страниц за день.
Задача 3. В двух группах 10 и 20 участников, средний результат первой группы — 6 баллов, второй — 8 баллов. Найдём средний результат всех участников. Просто сложить 6 и 8 и разделить на 2 нельзя: вторая группа вдвое больше первой, поэтому её результатов больше. Сначала восстановим общий результат каждой группы.
Ответ: средний результат всех участников — 7⅓ балла. Он ближе к 8, потому что во второй группе больше участников.
Делят сумму не на количество чисел. Ошибка возникает, если пересчитать данные невнимательно или принять число дней за число значений, хотя в условии есть дополнительные наблюдения. Перед вычислением выпиши все числа и посчитай их. После деления проверь, что делитель совпадает с их количеством.
Забывают разделить сумму. Сложение даёт общий итог, а не среднее арифметическое, хотя эти числа связаны. Такую ошибку допускают, когда останавливаются после первого действия. Проверь, выполнено ли деление на количество значений; среднее обычно не должно быть больше всех чисел набора или меньше всех них.
Усредняют средние групп разной численности напрямую. Так поступают, не замечая, что среднее каждой группы основано на своём количестве результатов. В результате маленькая и большая группы получают одинаковый вес, что неверно. Умножь каждое групповое среднее на число участников, сложи итоги и раздели на общее число участников.
Считают, что среднее обязано быть одним из исходных значений. Это неверно: например, среднее 8 и 14 равно 11, которого в наборе нет. Среднее может быть и дробным. Проверь вычисление через равномерное распределение суммы и убедись, что ответ не противоречит границам набора.
Для вычисления среднего нужны навыки сложения и деления натуральных чисел и десятичных дробей. Также важно уметь считать количество данных: от него зависит делитель. Среднее используют при анализе оценок, измерений и других наборов результатов, чтобы кратко описать их общий уровень. При объединении групп разной численности проявляется связь с отношениями и пропорциями: вклад каждого среднего зависит от доли группы в общем количестве.
Почему среднее арифметическое находят делением суммы на количество чисел?
Сумма показывает общий итог всех значений. Если распределить этот итог поровну между числами, доля каждого и будет средним арифметическим.
Может ли среднее арифметическое быть дробным?
Да. Например, среднее чисел 2 и 3 равно 2,5. Это число показывает равную долю при распределении суммы, хотя в исходном наборе такой величины нет.
Обязательно ли среднее совпадает с одним из чисел набора?
Нет, среднее может не встречаться среди исходных чисел. Например, у чисел 8 и 14 среднее равно 11.
Когда нельзя просто усреднить два уже найденных средних?
Нельзя делать это напрямую, если в группах разное количество участников или наблюдений. Сначала нужно учесть вклад каждой группы: умножить её среднее на число наблюдений, сложить результаты и разделить на общее количество.
Как проверить, правдоподобен ли полученный ответ?
Для двух чисел среднее должно находиться между ними. В любой задаче пересчитай количество значений и проверь, что сумма разделена именно на него; также оцени, подходит ли ответ по смыслу и единицам измерения.
Как найти "золотую середину"
