§22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Определения и обозначения

Прямая пропорциональная зависимость — это зависимость между величинами x и y, которую задают формулой y = kx. Число k здесь постоянно, поэтому отношение соответствующих значений y и x всегда равно одному и тому же числу: y/x = k. Если x увеличить, например, в 3 раза, y тоже увеличится в 3 раза. Такое правило помогает понять, как изменение одной величины влияет на другую.

Коэффициент пропорциональности — это число k, которое показывает, во сколько раз значение y связано со значением x в формуле y = kx. Его можно найти по любой известной паре соответствующих значений: k = y/x. Например, если x = 4, а y = 20, то k = 20/4 = 5. Найдя k, можно составить формулу зависимости и вычислять значения, которых не хватает.

Обратная пропорциональная зависимость задаётся формулой y = k/x, где k — постоянное число. При такой зависимости произведение соответствующих значений x и y всегда одинаково: x·y = k. Если одну величину увеличить в несколько раз, другая во столько же раз уменьшится. Это правило удобно применять, когда общий объём работы или расстояние не меняются.

Как это устроено

Представь покупку одинаковых тетрадей по одной и той же цене. Если одна тетрадь стоит k рублей, то за x тетрадей нужно заплатить y = kx рублей: каждая новая тетрадь добавляет к стоимости ещё k рублей. При покупке в два раза большего количества складываются две одинаковые суммы, поэтому и общая стоимость становится в два раза больше. Отношение стоимости к количеству остаётся равным цене одной тетради.

Чтобы пользоваться прямой зависимостью, сначала найди k по паре известных значений. Например, если за 3 одинаковые вещи заплатили 60 рублей, то цена одной вещи равна k = 60/3 = 20 рублей. Теперь формула стоимости имеет вид y = 20x. Подставь в неё нужное количество x, и получишь соответствующую стоимость y.

Рассмотрим движение на одном и том же расстоянии. При постоянной скорости время можно найти делением расстояния на скорость: чем быстрее едет велосипедист, тем меньше времени требуется на путь. Если скорость увеличить в 2 раза, за каждый час велосипедист проедет вдвое больше, поэтому прежнее расстояние он преодолеет за половину прежнего времени. Здесь скорость и время изменяются в противоположных направлениях.

При обратной пропорциональности произведение x·y остаётся постоянным, потому что по формуле y = k/x значение y получается делением одного и того же числа k на x. Умножив обе части формулы на x, получим x·y = k. Если известны x и y, найди их произведение; чтобы определить новое значение y, раздели постоянное произведение на новое значение x. Так можно решать задачи, где общий объём работы неизменен.

Обе зависимости связывают две величины, но проверять их нужно по-разному. Для прямой зависимости делят соответствующие значения y на x и убеждаются, что частное одинаково. Для обратной зависимости умножают соответствующие значения и проверяют, что произведение не меняется. Поэтому одного наблюдения «обе величины растут» недостаточно: нужно установить, какое именно правило выполняется.

Сравнение прямой и обратной пропорциональных зависимостей

Сначала выбери в таблице признак «что остаётся постоянным» и проверь данные задачи: частное или произведение. Затем сравни формулу и правило изменения величин, чтобы не перепутать тип зависимости. Примеры помогают соотнести математическое правило с реальной ситуацией.

Разбор задач

Задача 1. Один карандаш стоит 18 рублей. Сколько стоят 4 таких карандаша? Цена одного карандаша не меняется, поэтому общая стоимость прямо пропорциональна количеству. Значит, стоимость всех карандашей можно найти умножением цены за один карандаш на их число.

1. Обозначим стоимость через y, а количество карандашей через x. Коэффициент прямой пропорциональности равен цене одного карандаша: k = 18 рублей. Тогда зависимость записывается как y = 18x.
2. Подставим x = 4 в формулу. Получим y = 18·4 = 72 рубля. Умножение подходит, потому что мы складываем цену четырёх одинаковых карандашей.

Ответ: 4 карандаша стоят 72 рубля.

Задача 2. За 3 часа велосипедист проехал 45 км. Сколько километров он проедет за 5 часов с той же скоростью? При неизменной скорости расстояние прямо пропорционально времени: каждый час добавляет одинаковое число километров. Сначала найдём это число — скорость велосипедиста.

1. За 3 часа пройдено 45 км, значит скорость равна 45/3 = 15 км/ч. Это коэффициент прямой пропорциональности между временем и расстоянием.
2. Запишем расстояние формулой y = 15x, где x — время в часах. При x = 5 получаем y = 15·5 = 75 км.

Ответ: за 5 часов велосипедист проедет 75 км.

Задача 3. Одинаковую работу выполняют 6 рабочих за 8 дней. За сколько дней её выполнят 12 рабочих, если производительность каждого одинакова? Рабочих стало вдвое больше, значит за каждый день выполняется вдвое больше работы. Общий объём работы не изменился, поэтому число рабочих и число дней обратно пропорциональны.

1. Найдём постоянное произведение числа рабочих и числа дней: 6·8 = 48 рабочих-дней. Это коэффициент k в зависимости y = k/x, где x — число рабочих, а y — число дней.
2. Для 12 рабочих получаем y = 48/12 = 4 дня. Проверка: 12·4 = 48, то же произведение, что и в условии.

Ответ: 12 рабочих выполнят работу за 4 дня.

Типичные ошибки

Ошибка: считать зависимость прямой только потому, что при увеличении x увеличивается y. Такое правило само по себе не доказывает пропорциональность: величины могут увеличиваться неодинаково. Проверка: раздели каждое значение y на соответствующее x и сравни частные. Прямая пропорциональность есть, только если отношения одинаковы.

Ошибка: путать постоянное отношение y/x с постоянным произведением x·y. Это происходит потому, что оба правила связывают пару значений и звучат похоже. Проверка: сопоставь формулу с действием — для y = kx нужно делить y на x, а для y = k/x нужно умножать x на y. Подстановка в формулу тоже помогает обнаружить неверный выбор.

Ошибка: при обратной пропорциональности считать, что рост x увеличивает y во столько же раз. Здесь величины меняются в противоположных направлениях, потому что их произведение должно оставаться неизменным. Проверь себя на простом примере: если x удвоился, то y должен уменьшиться вдвое. Иначе произведение x·y изменится.

Ошибка: находить коэффициент делением не тех значений. Для прямой зависимости k = y/x, а для обратной k = x·y, поэтому один и тот же способ вычисления не подходит. Перед расчётом выпиши формулу и вырази из неё k. После этого проверь результат: отношение или произведение должно получаться постоянным для всех известных пар.

Связь с другими темами

Для изучения пропорциональных зависимостей нужно уметь находить отношение и произведение чисел, делить и умножать дроби. Эти действия встречаются и в знакомых задачах: стоимость находят по цене и количеству, расстояние — по скорости и времени. Понимание смысла величин помогает выбрать нужное вычисление, а не просто подставлять числа в формулу.

Прямая и обратная пропорциональность помогают решать задачи на движение, цену и количество, а также на совместную работу. Позже эти зависимости пригодятся при изучении координатных графиков и функций: формула показывает, как одно значение связано с другим. Умение различать постоянное отношение и постоянное произведение помогает проверять решение и оценивать, разумен ли ответ.

Что запомнить

• Прямая пропорциональная зависимость задаётся формулой y = kx.
• При прямой пропорциональности отношение y/x постоянно.
• Коэффициент прямой пропорциональности равен k = y/x.
• Обратная пропорциональная зависимость задаётся формулой y = k/x.
• При обратной пропорциональности произведение x·y постоянно.
• Если x увеличивается в несколько раз, y при прямой пропорциональности увеличивается во столько же раз, а при обратной — уменьшается во столько же раз.