"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Пропорциональная зависимость показывает, как изменяются связанные величины. При прямой пропорциональности они растут или уменьшаются вместе: если одну увеличить в несколько раз, другая изменится во столько же раз. При обратной — одна величина растёт, а другая уменьшается в столько же раз. Эти правила помогают находить неизвестные значения в задачах о цене, количестве, скорости и времени. Чтобы определить вид зависимости, проверяют постоянство отношения или произведения значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямо пропорциональные величины — это величины, у которых при изменении одной в несколько раз другая изменяется во столько же раз. Их связь записывают формулой y = kx, где x и y — значения величин. Например, при постоянной цене общая стоимость растёт вместе с количеством покупок. Это определение помогает понять, когда можно переносить изменение одной величины на другую.
Число k в формуле y = kx называют коэффициентом пропорциональности. Оно показывает, во сколько раз y больше или меньше x, и равно отношению соответствующих значений: k = y/x. Например, если за 1 тетрадь платят 30 рублей, то стоимость в рублях равна количеству тетрадей, умноженному на 30. Коэффициент нужен, чтобы записать связь одной короткой формулой.
Обратно пропорциональные величины — это величины, у которых при увеличении одной в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Зависимость записывают формулой y = k/x. Так связаны скорость и время движения на одном и том же пути: чем выше скорость, тем меньше времени требуется. Это правило помогает решать задачи, где одно значение растёт, а другое компенсирует этот рост.
В формуле y = k/x число k называют коэффициентом обратной пропорциональности. Оно равно произведению соответствующих значений x и y: k = xy. Если это произведение не меняется, связь подходит под формулу обратной пропорциональности. Зная k и одно значение, можно найти другое.
При прямой пропорциональности отношение соответствующих значений y/x не меняется. Если для каждой пары значений разделить y на x, получится одно и то же число k. Поэтому y/x = k; умножив обе части на x, получим формулу y = kx. Постоянное отношение и есть признак того, что величины связаны именно такой зависимостью.
Это правило видно и в таблице. Если x умножили на некоторое число, то y тоже нужно умножить на него: иначе отношение y/x изменится. Например, при постоянной цене переход от 2 предметов к 6 означает увеличение количества в 3 раза, и стоимость тоже увеличится в 3 раза. Если x разделить на число, y разделится на то же число.
При обратной пропорциональности постоянным остаётся произведение xy. Обозначим это произведение буквой k: xy = k. Чтобы выразить y, разделим обе части равенства на x и получим y = k/x. Значит, произведение можно использовать как проверку: оно должно оставаться одинаковым для любых соответствующих значений.
Из постоянства произведения следует правило изменения величин. Если x увеличивается, произведение не должно измениться, поэтому y приходится уменьшить. Например, если x стало в 4 раза больше, то y должно стать в 4 раза меньше: так значение xy останется прежним. Это объясняет, почему при одном и том же пути увеличение скорости сокращает время движения.
Чтобы определить вид зависимости по нескольким парам значений, проверь оба признака. Для каждой пары вычисли y/x: одинаковые результаты говорят о прямой пропорциональности. Если отношения разные, перемножь значения x и y; одинаковые произведения указывают на обратную пропорциональность. Если не постоянны ни отношения, ни произведения, связь не относится к этим двум видам.
Графики помогают увидеть различие в изменении величин. На рисунке прямая пропорциональность показана формулой y = 2x: при росте x значение y также растёт. График y = 12/x убывает: например, при x = 1 значение y равно 12, а при x = 2 оно равно 6. По одному графику можно заметить направление изменения, но для проверки зависимости полезно также знать её формулу.
| Свойство | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Формула зависимости | y = kx | y = k/x |
| Что остаётся постоянным | Отношение y/x | Произведение xy |
| Как меняется y при увеличении x в несколько раз | Увеличивается во столько же раз | Уменьшается во столько же раз |
| Как найти неизвестное значение | Использовать постоянное отношение y/x или формулу y = kx | Использовать постоянное произведение xy или формулу y = k/x |
| Пример зависимости | Стоимость и количество при постоянной цене | Скорость и время при постоянном пути |
Сначала определи, какое свойство сохраняется: отношение или произведение. Затем выбери соответствующую формулу и подставь известные значения. Таблица также помогает проверить, не перепутан ли вид зависимости.
Задача 1. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Чем больше тетрадей покупают, тем больше стоимость; цена одной тетради не меняется. Значит, количество и стоимость прямо пропорциональны, и сначала удобно узнать цену одной тетради.
Ответ: 150 рублей.
Задача 2. Для приготовления 4 одинаковых порций нужно 200 г крупы. Сколько крупы потребуется для 7 порций? Одна порция требует одинаковое количество крупы, поэтому при увеличении числа порций расход увеличивается в той же пропорции. Можно найти расход на одну порцию, а затем умножить на 7, или составить пропорцию.
Ответ: 350 г крупы.
Задача 3. Автомобиль проходит путь за 6 часов при скорости 50 км/ч. За сколько часов он пройдёт тот же путь при скорости 75 км/ч? Путь остаётся прежним, поэтому скорость и время обратно пропорциональны. Найдём общий путь, а потом разделим его на новую скорость.
Ответ: 4 часа.
Считать любую связь прямой пропорциональностью — ошибка: того, что обе величины иногда растут вместе, недостаточно. Так думают, потому что замечают направление изменения, но не сравнивают сами значения. Проверь, постоянно ли отношение y/x для нескольких пар. Если оно меняется, формулу y = kx применять нельзя.
Путать прямую и обратную пропорциональность тоже легко: в обоих случаях между величинами есть связь. При прямой зависимости они изменяются в одном направлении, а при обратной — в противоположных. Сравни пары значений или подумай, что происходит с одной величиной при увеличении другой. Например, при постоянном пути рост скорости сокращает время.
Для обратной пропорциональности иногда проверяют отношение значений, хотя постоянным должно быть произведение xy. Ошибка возникает из-за привычки искать отношение в задачах на пропорции. Перемножь значения в каждой паре таблицы и сравни результаты. Если произведения различны, обратная пропорциональность не подтверждена.
В задачах на обратную пропорциональность можно забыть условие, которое должно оставаться неизменным. Например, скорость и время связаны обратно только при одном и том же пути; если путь изменился, произведение скорости и времени уже не обязано быть постоянным. Перед вычислениями назови неизменную величину или условие. Затем проверь, действительно ли оно позволяет использовать произведение xy.
Для решения задач на пропорциональные зависимости нужно уметь находить отношение и произведение чисел, составлять и решать пропорции. Прямая пропорциональность встречается в задачах о цене и количестве при неизменной цене, а также о расстоянии и времени при постоянной скорости. Масштаб тоже связывает длину на изображении с настоящей длиной постоянным отношением. Обратная пропорциональность помогает находить время при заданных пути и скорости, а также решать задачи о производительности и времени работы.
Как понять, что величины прямо пропорциональны?
Сравни соответствующие значения и проверь, одинаково ли отношение y к x во всех парах. Если оно постоянно, величины прямо пропорциональны: y = kx. Тогда увеличение x в несколько раз во столько же раз увеличивает y.
Как найти коэффициент пропорциональности?
Для прямой пропорциональности раздели значение y на соответствующее значение x: k = y/x. Для обратной зависимости перемножь соответствующие значения: k = xy. Полученное число должно быть одинаковым для всех пар.
Чем обратная пропорциональность отличается от прямой?
При прямой пропорциональности отношение y/x постоянно, а величины изменяются в одном направлении. При обратной постоянно произведение xy: если x растёт, y уменьшается, и наоборот. Формулы: y = kx и y = k/x.
Как проверить по таблице, является ли зависимость обратной пропорциональностью?
Перемножь x и y в каждой паре таблицы. Если все произведения равны одному и тому же числу, зависимость обратная пропорциональная. Одного сравнения значений y недостаточно.
Всегда ли зависимость между двумя величинами бывает прямой или обратной пропорциональностью?
Нет, связь между величинами может быть другой. Например, постоянство отношения или произведения нужно проверить по условию или данным. Если ни одно из них не сохраняется, зависимость не относится к этим двум видам.
22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости
