"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Пропорциональные зависимости показывают, как изменение одной величины влияет на другую. При прямой зависимости обе величины изменяются согласованно: во сколько раз увеличилась одна, во столько же раз увеличилась другая. При обратной зависимости увеличение одной величины приводит к уменьшению другой во столько же раз. Чтобы распознать вид зависимости, проверяют постоянное отношение или произведение величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Величины называют прямо пропорциональными, если одну из них можно выразить через другую формулой y = kx, где k — неизменное число. Например, при постоянной цене стоимость покупки зависит от количества товара именно так. Формула помогает рассчитать неизвестное значение, если известны другие величины.
Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности: оно показывает, чему равна величина y при x = 1. Чтобы найти k по соответствующим значениям x и y, делят y на x: k = y/x. Это позволяет составить формулу зависимости по одной известной паре значений.
Величины называют обратно пропорциональными, если их связь задаётся формулой y = k/x, где k — постоянное число. В такой зависимости рост одной величины сопровождается уменьшением другой. Эта формула помогает находить неизвестную величину, когда известна другая.
Число k в формуле обратной зависимости называют коэффициентом обратной пропорциональности. Оно равно произведению соответствующих значений: k = xy. Коэффициент позволяет записать формулу и проверить, остаётся ли произведение величин неизменным.
Представим таблицу: при x = 1, 2 и 3 значения y равны 4, 8 и 12. Для каждой пары отношение y/x равно 4, значит, оно постоянно. Обозначив это число буквой k, получаем y/x = k; умножив обе части на x, приходим к формуле y = kx. Именно поэтому для проверки прямой пропорциональности сравнивают отношения соответствующих величин.
Формула y = kx объясняет, как меняется величина y. Если x заменить на 3x, то новое значение y будет k · 3x, то есть тоже увеличится в три раза. При увеличении x в пять раз y также возрастёт в пять раз. Это свойство верно при неизменном коэффициенте k.
Для обратной зависимости рассмотрим пары x и y: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Их произведения равны 12, поэтому можно записать xy = k, где k — постоянное число. Разделив равенство на x, получим y = k/x. Значит, для проверки обратной пропорциональности нужно перемножить значения каждой пары.
Если в формуле y = k/x увеличить x в три раза, получится y = k/(3x), то есть значение y станет в три раза меньше. При увеличении первой величины в пять раз вторая уменьшится в пять раз. Так происходит потому, что их произведение должно оставаться равным одному и тому же числу k.
В задаче сначала выясни, какие величины сравниваются и что именно остаётся неизменным. Затем проверь: одинаково ли отношение соответствующих значений или одинаково ли их произведение. Постоянное отношение означает прямую зависимость, а постоянное произведение — обратную. Если ни одно из условий не выполняется, нельзя считать зависимость пропорциональной только по тому, что обе величины растут или одна уменьшается.
| Свойство | Прямая пропорциональная зависимость | Обратная пропорциональная зависимость |
|---|---|---|
| Формула связи величин | y = kx | y = k/x |
| Постоянная величина | Отношение y/x | Произведение xy |
| Что происходит при увеличении одной величины в несколько раз | Другая увеличивается во столько же раз | Другая уменьшается во столько же раз |
| Как найти неизвестное значение | Найти k = y/x и использовать y = kx | Найти k = xy и использовать y = k/x |
Пользуйся таблицей как памяткой: сначала выбери признак, который подходит условию задачи, а затем запиши нужную формулу. Если известны значения обеих величин, проверь отношение или произведение. Для вычисления неизвестного найди коэффициент и подставь его в формулу.
За 1 кг яблок платят 80 рублей. Нужно узнать стоимость 3 кг. Цена одного килограмма не меняется, поэтому стоимость зависит от количества килограммов прямо пропорционально: чем больше масса, тем больше общая цена в том же отношении.
Ответ: 3 кг яблок стоят 240 рублей.
Четыре одинаковых насоса наполняют резервуар за 6 часов. Нужно найти время для восьми таких насосов. При одинаковой производительности резервуар требует одного и того же объёма работы: если насосов больше, время уменьшается, поэтому здесь ожидается обратная зависимость.
Ответ: восемь насосов наполнят резервуар за 3 часа.
При прямой пропорциональности x = 7 соответствует y = 21. Требуется найти y при x = 12, а затем x при y = 9. Так как зависимость прямая, отношение y/x одинаково для обеих пар, и сначала можно определить коэффициент.
Ответ: при x = 12 значение y равно 36; если y = 9, то x = 3.
Ошибка: считать зависимость прямой только потому, что обе величины растут. Так рассуждают, потому что рост часто заметен сразу, а соотношение между числами проверяют не всегда. Сравни значения y/x для нескольких пар: если результаты разные, прямая пропорциональность не подтверждается.
Ошибка: путать постоянное отношение прямой зависимости с постоянным произведением обратной. Это происходит из-за того, что оба признака связаны с постоянным числом. Проверь формулу: для y = kx постоянно y/x, а для y = k/x постоянно xy.
Ошибка: при обратной зависимости увеличивать обе величины в одинаковое число раз. Величины могут одновременно расти в некоторых других ситуациях, поэтому легко забыть, что для обратной пропорциональности их произведение сохраняется. Проверь результат: если одну величину умножили на 4, другая должна разделиться на 4.
Ошибка: находить коэффициент делением вместо умножения или наоборот. Причина — обе формулы похожи и используют одни и те же величины. Перед вычислением запиши тип зависимости: для прямой k = y/x, для обратной k = xy; затем проверь, что найденное число подходит всем известным парам.
Для работы с зависимостями нужно уметь находить отношение и произведение чисел, выполнять действия с дробями и решать простые уравнения. Например, при прямой зависимости неизвестное значение находят подстановкой в формулу, а при обратной часто сначала вычисляют произведение. Эти навыки помогают не только выполнить расчёт, но и проверить его.
Прямая зависимость встречается в задачах на цену и количество товара: при одинаковой цене большее количество стоит дороже. Обратная появляется в задачах о скорости и времени на один и тот же путь, а также о производительности и совместной работе. Важно учитывать условие: например, скорость и время обратно пропорциональны, только если расстояние не меняется.
Как понять, что величины прямо пропорциональны?
Раздели значения одной величины на соответствующие значения другой. Если во всех парах получается одно и то же число, величины прямо пропорциональны: y = kx.
Чем прямая пропорциональность отличается от обратной?
При прямой зависимости постоянным остаётся отношение y/x, а при обратной — произведение xy. Если одну величину увеличить в несколько раз, другая при прямой зависимости увеличится, а при обратной — уменьшится во столько же раз.
Как найти коэффициент пропорциональности?
Сначала нужно понять, какая зависимость задана. Для прямой зависимости k = y/x, а для обратной k = xy.
Почему при обратной пропорциональности произведение величин постоянно?
По формуле обратной зависимости y = k/x. Если умножить обе части на x, получится xy = k, поэтому произведение не меняется.
Как определить вид зависимости по таблице значений?
Для каждой пары значений вычисли отношение y/x и произведение xy. Если постоянно отношение, зависимость прямая; если произведение — обратная.
4.4. Прямая и обратная пропорциональные зависимости
