4.3. Пропорции

Определения и обозначения

Отношение чисел — это частное одного числа и другого. Его записывают a:b или дробью a/b; число b называют знаменателем, и оно не должно быть равно нулю. Отношение показывает, сколько раз одно число содержится в другом или какую часть оно составляет. Оно нужно, чтобы сравнивать числа и описывать связь между величинами.

Пропорция — это равенство двух отношений, например a:b = c:d. Здесь b и d не равны нулю, потому что они стоят в знаменателях дробей a/b и c/d. Такая запись сообщает, что оба отношения имеют одно и то же значение. Пропорции помогают находить неизвестные числа, когда известна связь между величинами.

Крайними членами пропорции a:b = c:d называют первый и последний члены записи: a и d. Слово «крайние» напоминает об их расположении: они стоят по краям. Это название нужно, чтобы не перепутать, какие числа перемножать при проверке или решении пропорции.

Средние члены пропорции a:b = c:d — это второй и третий члены, b и c. Они находятся между крайними. Если расставить все четыре числа по порядку, то сразу видно, какие из них являются средними; это помогает применять основное свойство пропорции без ошибки.

Как это устроено

Пропорция появляется тогда, когда два отношения равны. Например, запись 2:3 = 8:12 означает, что частное 2/3 равно частному 8/12. Чтобы увидеть это, можно сократить дробь 8/12 на 4: получится 2/3. Значит, числа могут быть разными, но описывать одно и то же отношение.

У пропорции a:b = c:d есть основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть ad = bc. Члены здесь расположены по порядку: крайние — a и d, средние — b и c. Поэтому «перемножить крест-накрест» означает умножить первый член на последний, а второй — на третий. Равенство этих произведений служит и для проверки пропорции, и для нахождения неизвестного числа.

Свойство следует из равенства дробей a/b = c/d. Умножим обе части на b·d, причём b и d не равны нулю: слева получится (a/b)·b·d = a·d, а справа (c/d)·b·d = b·c. Знаменатели сокращаются, потому что каждую дробь умножили на выражение, содержащее её знаменатель. В результате получаем равенство ad = bc.

Чтобы найти неизвестный член, сначала запиши произведение крайних членов и произведение средних, а затем приравняй их. Например, в x:5 = 6:15 крайние члены — x и 15, средние — 5 и 6, поэтому 15x = 30. Решая это уравнение, получаем x = 2. Такой способ сводит поиск неизвестного числа к знакомому действию — решению уравнения.

После решения подставь найденное число в исходную пропорцию и проверь, что знаменатели не стали нулевыми. Например, для x = 2 в записи x:5 = 6:15 получаются отношения 2/5 и 6/15. Сокращение 6/15 на 3 даёт 2/5, значит, отношения действительно равны. Такая проверка позволяет заметить ошибку в вычислениях или записи.

Элементы пропорции и их связь

Сначала найди в записи все четыре члена по порядку, затем отметь крайние и средние. По таблице легко составить равенство для проверки или уравнение для нахождения неизвестного. Следи, чтобы не поменять местами названия членов.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, составляют ли числа 2, 3, 8 и 12 пропорцию: 2:3 = 8:12. Сравним перекрёстные произведения, потому что для верной пропорции они должны совпадать. В записи крайние члены — 2 и 12, а средние — 3 и 8. Это позволяет проверить равенство, не деля числа друг на друга.

1. Вычислим произведение крайних: 2·12 = 24.
2. Вычислим произведение средних: 3·8 = 24.
3. Произведения равны, поэтому исходные отношения равны.

Ответ: числа составляют пропорцию 2:3 = 8:12.

Задача 2. Найти x в пропорции x:5 = 6:15. Неизвестное число стоит в первом отношении, а знаменатели 5 и 15 не равны нулю. Применим основное свойство, чтобы получить уравнение с x. После нахождения значения проверим, что оно действительно делает отношения равными.

1. Крайние члены — x и 15, средние — 5 и 6.
2. Запишем произведение: 15x = 5·6.
3. Получим 15x = 30 и разделим обе части на 15: x = 2.
4. Проверим: 2/5 = 6/15, потому что 6/15 = 2/5.

Ответ: x = 2.

Задача 3. Для приготовления напитка на 4 порции нужно 300 мл сока. Сколько потребуется на 10 порций, если расход на порцию одинаков? Сока на большее число порций нужно больше, поэтому ответ должен оказаться больше 300 мл. Запишем соответствующие величины в одинаковом порядке: сначала число порций, затем количество сока. Пусть x — нужное количество сока в миллилитрах.

1. Составим пропорцию: 4:10 = 300:x.
2. Применим основное свойство: 4x = 10·300.
3. Получим 4x = 3000, затем разделим на 4: x = 750.
4. Проверим: на одну порцию приходится 300/4 = 75 мл, а 750/10 = 75 мл.

Ответ: на 10 порций потребуется 750 мл сока. Ответ разумен: порций стало в 2,5 раза больше, поэтому и сока нужно в 2,5 раза больше.

Типичные ошибки

Крайние и средние члены иногда называют наоборот, если ориентироваться только на привычку или на то, какие числа заметнее. В записи a:b = c:d нужно сначала перечислить члены по порядку: a, b, c, d. Тогда крайними окажутся a и d, а средними — b и c. Проверь себя, указав для каждого члена его место в записи.

Другая ошибка — перемножать соседние числа вместо крайних и средних. Например, для a:b = c:d нельзя без основания записывать ab = cd: основное свойство даёт ad = bc. Ошибку допускают, когда не следят за расположением членов. Перед вычислениями отметь крайние и средние, а затем проверь, что умножаешь именно пары «первый с последним» и «второй с третьим».

При составлении пропорции по условию можно расположить соответствующие величины в разном порядке. Тогда отношения будут описывать не одну и ту же связь, и получится неверный ответ. Чтобы этого избежать, в обоих отношениях записывай сначала одну величину, затем другую: например, сначала порции, потом сок. Проверка единиц измерения и смысла отношений поможет заметить перестановку.

Иногда найденное значение не подставляют обратно или забывают, что знаменатель не может быть нулём. Из-за этого остаётся незамеченной ошибка в вычислениях либо недопустимая запись отношения. Подставь ответ в исходную пропорцию, сравни оба отношения и убедись, что все знаменатели ненулевые. В задаче дополнительно оцени, подходит ли результат по смыслу.

Связь с другими темами

Чтобы работать с пропорциями, нужно уметь находить отношение чисел, записывать обыкновенные дроби и выполнять умножение и деление. Если одно из отношений дано дробью, полезно понимать, как сравнивать и сокращать дроби. Пропорции, в свою очередь, помогают решать задачи, где величины связаны прямой зависимостью: например, чем больше одинаковых порций, тем больше продуктов потребуется. Они также применяются при работе с масштабом и процентами.

Что запомнить

• Пропорция — это равенство двух отношений.
• В записи a:b = c:d крайние члены — a и d.
• В записи a:b = c:d средние члены — b и c.
• В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: ad = bc.
• Неизвестный член пропорции находят с помощью основного свойства.
• После решения полезно проверить ответ подстановкой.