"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Пропорция — это равенство двух отношений, например 2:3 = 8:12. Она помогает сравнивать величины и находить неизвестное число, если известны остальные члены равенства. Главное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. С его помощью можно проверить, верна ли пропорция, и решить задачи на пропорциональные величины — например, узнать, сколько сока получится из большего количества яблок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел — это частное, полученное при делении одного числа на другое. Его записывают через двоеточие, например 6:2, или в виде дроби 6/2; читают: отношение шести к двум. Делитель не должен быть равен нулю. Отношение показывает, во сколько раз одно число отличается от другого или какую часть оно составляет от другого, поэтому помогает сравнивать числа.
Пропорция — это равенство двух отношений. Её общая запись: a:b = c:d, а через дроби она выглядит так: a/b = c/d. Например, 2:3 = 8:12 — пропорция, потому что оба отношения равны. В записи с дробями знаменатели b и d не должны быть нулевыми.
Члены пропорции — это числа, которые входят в её запись. В равенстве a:b = c:d числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Названия зависят от расположения чисел в записи: крайние стоят на её концах, средние — между ними. Это деление нужно, чтобы правильно применять основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции гласит: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Для записи a:b = c:d это означает a · d = b · c. Например, в равенстве 2:3 = 8:12 произведение крайних равно 2 · 12, а средних — 3 · 8; оба результата равны 24. Это свойство позволяет проверять пропорции и находить неизвестные числа.
Пропорция возникает, когда два отношения имеют одинаковое значение. Например, 1:2 и 3:6 равны, потому что 1/2 = 3/6 = 0,5; поэтому можно записать 1:2 = 3:6. Числа в отношениях могут быть разными, но пропорция верна, если частные совпадают. Такая запись удобна, когда нужно показать, что две пары величин изменяются в одинаковом отношении.
Основное свойство можно получить из равенства дробей. Если a/b = c/d, то обе части равенства можно умножить на b · d: знаменатели сократятся, и останется a · d = b · c. Именно поэтому при проверке пропорции перемножают числа крест-накрест: крайние a и d образуют одно произведение, а средние b и c — другое. Это не просто правило расположения, а следствие равенства отношений.
Проверить пропорцию можно, не вычисляя отношения отдельно. Например, для 2:3 = 8:12 крайние члены — 2 и 12, средние — 3 и 8. Считаем: 2 · 12 = 24 и 3 · 8 = 24; произведения равны, значит, пропорция верна. Если результаты не совпали, исходное равенство отношений неверно.
Основное свойство помогает найти неизвестный член. Например, в x:7 = 6:14 крайние члены — x и 14, средние — 7 и 6, поэтому x · 14 = 7 · 6. Получаем уравнение 14x = 42, откуда x = 3. После этого можно подставить найденное число в исходную запись и убедиться, что оба отношения равны.
Неизвестный член оказывается частным произведения двух известных членов и третьего известного числа, потому что в равенстве произведений неизвестное умножено на этот третий член. Чтобы оставить неизвестное одно, обе части уравнения делят на известный множитель. Например, из 14x = 7 · 6 следует x = (7 · 6)/14. Деление отменяет умножение, поэтому и получается частное, а не только произведение известных чисел.
| Элемент записи a:b = c:d | Название | Роль в основном свойстве |
|---|---|---|
| a и d | Крайние члены | Их произведение равно произведению средних |
| b и c | Средние члены | Их произведение равно произведению крайних |
| a:b и c:d | Отношения | В пропорции они равны |
Чтобы определить крайние и средние члены, сначала расположи числа в записи a:b = c:d: первое и последнее будут крайними, два числа между ними — средними. Затем перемножь крайние между собой и средние между собой. Таблица помогает не перепутать пары при проверке или решении пропорции.
Проверим, является ли равенство 2:3 = 8:12 пропорцией. Необязательно делить числа и сравнивать десятичные дроби: быстрее воспользоваться основным свойством. Сначала правильно определим крайние и средние члены, затем сравним их произведения.
Ответ: да, равенство 2:3 = 8:12 является пропорцией.
Найдём x из пропорции x:7 = 6:14. Сначала запишем отношения в виде дробей: x/7 = 6/14. По основному свойству произведение крайних членов x и 14 равно произведению средних 7 и 6, а затем решим полученное уравнение.
Ответ: x = 3.
Из 5 кг яблок получают 3 л сока. Нужно узнать, сколько сока получится из 12 кг при том же выходе. Обозначим неизвестный объём буквой x и сравним отношения массы яблок и объёма сока в одинаковом порядке: сначала килограммы, затем литры. Так мы учитываем, что при одинаковом выходе сока обе величины растут пропорционально.
Ответ: из 12 кг яблок получат 7,2 л сока.
Крайние и средние члены иногда определяют на глаз или путают между собой. В записи a:b = c:d крайние — первое и последнее числа, а средние — два числа в середине; если перепутать пары, получится неверное равенство произведений. Проверь себя: в произведение крайних должны попасть числа с концов записи, а в произведение средних — два оставшихся числа.
Другая ошибка — перемножать числа не крест-накрест, а соседние члены. Так нарушается основное свойство: сравниваются не произведения крайних и средних. Перед вычислением подпиши или назови пары: для a:b = c:d это a и d, затем b и c. Если используешь дробную запись, убедись, что перемножаешь числитель одной дроби со знаменателем другой.
При поиске неизвестного иногда останавливаются после составления равенства произведений. Например, из 14x = 42 нельзя заключить, что x = 42: неизвестное всё ещё умножено на 14. Нужно разделить произведение 42 на этот известный множитель: x = 42/14. Проверь вычисление обратным действием: найденное число, умноженное на 14, должно дать 42.
В задачах можно перепутать порядок величин или сравнить в одном отношении массу с объёмом, а в другом — объём с массой. Тогда запись не отражает одинаковое соотношение, даже если числа внешне подходят. Запиши единицы и располагай величины в одном порядке, например сначала килограммы, затем литры, в обоих отношениях. Проверь, что ответ разумен: при большем количестве яблок при том же выходе должно получиться больше сока.
Для работы с пропорциями нужно уметь находить частное чисел, то есть делить одно число на другое. Также пригодится сокращение обыкновенных дробей: так можно упростить отношение и удобнее сравнить его с другим. Например, дробь 6/12 сокращается до 1/2, поэтому отношение 6:12 равно отношению 1:2.
Основное свойство пропорции связано с решением уравнений: из пропорции получают равенство произведений и находят неизвестное. Оно также помогает решать задачи на пропорциональные величины, когда несколько величин изменяются согласованно. Например, при неизменном выходе из большего количества яблок получают больше сока; пропорция позволяет вычислить точное количество.
Как понять, является ли равенство отношений пропорцией?
Нужно проверить, равны ли отношения: вычислить каждое как частное или сравнить произведения крайних и средних членов. Если произведения совпали, равенство является верной пропорцией.
Какие члены пропорции называют крайними, а какие средними?
В записи a:b = c:d крайние члены — первое и последнее числа, a и d. Средние — два числа посередине, b и c.
Почему в пропорции перемножают члены крест-накрест?
Потому что равенство дробей a/b = c/d при ненулевых знаменателях можно умножить на b и d. Получается равенство a · d = b · c, то есть произведение крайних членов равно произведению средних.
Как найти неизвестный крайний член пропорции?
Сначала запиши равенство произведения крайних членов и произведения средних. Затем раздели произведение известных членов на известный член, который умножается на неизвестный.
Как проверить ответ, найденный при решении пропорции?
Подставь найденное число вместо неизвестного и сравни произведение крайних членов с произведением средних. Если произведения равны, пропорция верна; можно также вычислить оба отношения и сравнить их.
21. Пропорции
