1.4. Пропорции

Определения и обозначения

Пропорция — это равенство двух отношений. Её записывают так: a:b = c:d, или в виде дробей: a/b = c/d. Такая запись показывает, что отношение числа a к числу b равно отношению c к d. Она нужна, чтобы выразить и сравнить две пары величин.

Члены пропорции — числа, которые образуют отношения в записи a:b = c:d. Здесь всего четыре члена: a и b составляют первое отношение, а c и d — второе. Такое название помогает точно указывать, с какими числами выполняют действия при проверке или решении пропорции.

Крайние члены пропорции — первый и последний члены записи a:b = c:d, то есть a и d. Они стоят по краям всей записи, если читать её слева направо. Название позволяет быстро определить, какие два числа нужно перемножить для применения основного свойства.

Средние члены пропорции — второй и третий члены записи a:b = c:d, то есть b и c. Они расположены между крайними числами, по одному в каждом отношении. Различение средних и крайних членов нужно, чтобы не перепутать пары множителей.

Как это устроено

Пропорция возникает, когда два отношения равны. Чтобы проверить равенство напрямую, можно вычислить каждое отношение делением или записать отношения как дроби и сравнить их. Например, 2:3 и 8:12 равны, потому что 2/3 = 8/12: вторую дробь можно сократить на 4. Сравнение отношений показывает, описывают ли обе пары одну и ту же числовую зависимость.

В пропорции a:b = c:d произведение крайних членов равно произведению средних: a · d = b · c. Это следует из равенства дробей a/b = c/d: если перемножить обе части на b · d, знаменатели исчезнут, и останется равенство произведений. Поэтому четыре числа связаны не только равенством отношений, но и равенством двух произведений.

Это свойство позволяет проверить пропорцию, не выполняя деление. Нужно умножить крайние члены, затем средние и сравнить результаты. Если произведения совпали, исходная пропорция верна; если они разные, отношения не равны. Такой способ особенно удобен, когда отношения записаны дробями и деление получается неудобным.

Неизвестный член находят из равенства произведений. Сначала отмечают его место в пропорции, затем составляют произведение крайних и произведение средних членов и подставляют известные числа. После этого решают простое уравнение, например делят обе части на число, на которое умножена неизвестная. Так мы не угадываем ответ, а получаем его из связи между всеми четырьмя членами.

При составлении пропорции по условию задачи величины нужно сопоставлять в одинаковом порядке. Например, если в первом отношении записана стоимость к количеству, во втором тоже должна быть стоимость к количеству. Иначе сравниваются разные величины и равенство не описывает нужную зависимость. Одинаковый порядок помогает правильно поставить соответствующие числа на места.

Основные сведения о пропорции

Пользуйся таблицей, когда нужно вспомнить обозначения или выбрать способ проверки. Сначала определи крайние и средние члены, затем найди нужные произведения. Если неизвестно число, запиши равенство произведений и реши его.

Разбор задач

Задача. Проверить, верна ли пропорция 2:3 = 8:12. Нужно выяснить, действительно ли два отношения равны. Вместо деления удобно применить основное свойство пропорции и сравнить произведения.

1. В записи 2:3 = 8:12 крайние члены — 2 и 12, а средние — 3 и 8.
2. Вычислим произведение крайних: 2 · 12 = 24. Теперь найдём произведение средних: 3 · 8 = 24.
3. Получились равные числа, значит, основное свойство выполняется и пропорция верна.

Ответ: пропорция 2:3 = 8:12 верна.

Задача. Найти x из пропорции x:5 = 6:15. Неизвестное стоит первым, то есть входит в произведение крайних членов. Запишем равенство произведений, а затем найдём число, которое удовлетворяет этому равенству.

1. Крайние члены — x и 15, средние — 5 и 6. По основному свойству получаем x · 15 = 5 · 6.
2. Вычислим правую часть: 5 · 6 = 30, поэтому 15x = 30. Чтобы оставить x, разделим обе части равенства на 15.
3. Получаем x = 30 : 15 = 2. Проверим: 2:5 = 6:15, поскольку 2 · 15 = 5 · 6 = 30.

Ответ: x = 2.

Задача. За 4 одинаковых тетради заплатили 120 рублей. Сколько стоят 7 таких тетрадей? Сначала найдём, сколько рублей приходится на одну тетрадь, затем можно составить пропорцию, сопоставляя количество и стоимость. Цена одной тетради не меняется, поэтому отношения стоимости к количеству равны.

1. Обозначим стоимость 7 тетрадей через x рублей. Запишем одинаковые по порядку отношения: стоимость к количеству, то есть 120:4 = x:7.
2. По основному свойству произведение крайних равно произведению средних: 120 · 7 = 4 · x. Получаем 840 = 4x.
3. Разделим обе части на 4: x = 840 : 4 = 210. Результат разумен: семи тетрадей больше, чем четырёх, поэтому их общая стоимость должна быть выше 120 рублей.

Ответ: 7 тетрадей стоят 210 рублей.

Типичные ошибки

Крайние и средние члены иногда путают, просто считая числа в строке или выбирая соседние числа. Это происходит, если не учитывать устройство двух отношений. В записи a:b = c:d крайние — первый и последний члены, а средние — два числа между ними. Проверь себя: отметь границу между отношениями и назови номера членов.

При проверке пропорции могут сравнить суммы или разности вместо произведений. Такая ошибка возникает, когда правило помнят неточно или пытаются подобрать похожее действие. Основное свойство связывает именно произведения крайних и средних членов. Чтобы проверить себя, выпиши отдельно два умножения и сравни их результаты.

При нахождении неизвестного числа иногда неверно «переносят» множители через знак равенства. Это часто случается, когда пропускают шаг с основным свойством. Сначала запиши полное равенство произведений, затем упрости его и выполни одинаковые действия с обеими частями. В конце подставь найденное число обратно и проверь равенство.

В задаче могут составить отношения в разном порядке: например, стоимость к количеству, а затем количество к стоимости. Причина ошибки — невнимательное сопоставление величин в условии. Запиши названия величин рядом с числами и проверь, что в обоих отношениях они стоят в одинаковом порядке. Тогда пропорция будет описывать одну и ту же зависимость.

Связь с другими темами

Для работы с пропорциями нужно уметь находить значение отношения двух чисел и выполнять действия с обыкновенными дробями. Отношение можно записать дробью, а равенство отношений проверить или преобразовать с помощью умножения. Если дроби пока вызывают затруднения, полезно повторить сокращение и сравнение дробей.

Пропорции применяют в задачах на прямую и обратную пропорциональность, масштаб и проценты. Например, с их помощью пересчитывают расстояние на карте, находят стоимость нескольких одинаковых вещей или определяют часть величины в процентах. В каждой такой задаче важно правильно определить соответствующие величины и составить отношения в одном порядке.

Что запомнить

• Пропорция — это равенство двух отношений.
• В записи a:b = c:d крайние члены — a и d.
• В записи a:b = c:d средние члены — b и c.
• В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
• Верность пропорции можно проверить сравнением этих произведений.
• Неизвестный член находят с помощью основного свойства пропорции.