"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Прямая и обратная пропорциональность описывают, как связаны две величины. При прямой зависимости они изменяются в одинаковое число раз, а при обратной — в противоположные: одна растёт, другая уменьшается. Эти связи помогают находить неизвестные значения по таблице и решать задачи о цене, расстоянии, времени и совместной работе. Главное — проверить, постоянно ли отношение или произведение соответствующих значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямо пропорциональные величины — это такие величины, при увеличении или уменьшении одной из которых в несколько раз другая изменяется во столько же раз. Например, если купить в два раза больше одинаковых тетрадей по одной цене, общая стоимость тоже станет в два раза больше. Это понятие помогает понять, можно ли переносить известное соотношение на другие значения.
Коэффициент прямой пропорциональности — постоянное число k в формуле y = kx. Оно равно отношению y к x: k = y/x. Коэффициент показывает, сколько единиц y приходится на одну единицу x, поэтому с ним можно находить неизвестное значение одной величины по известному значению другой.
Обратно пропорциональные величины — это величины, у которых увеличение одной в несколько раз приводит к уменьшению другой во столько же раз. Например, при неизменном объёме работы большее число одинаково производительных рабочих справится быстрее. Понятие помогает описывать ситуации, где рост одной величины сокращает требуемое значение другой.
Коэффициент обратной пропорциональности — постоянное число k в формуле y = k/x. При такой зависимости произведение x и y всегда равно k: xy = k. Коэффициент позволяет находить неизвестную величину, если известна другая, и проверять, подходит ли таблица значений для обратной пропорциональности.
Чтобы проверить прямую пропорциональность по таблице, раздели значение y на соответствующее значение x в каждой паре. Если все частные одинаковы, отношение y/x постоянно, а значит, каждое значение y получается умножением x на одно и то же число. Например, для пар (2; 6) и (5; 15) отношения равны 3. Если частные различаются, такая таблица не описывается прямой пропорциональностью.
Формула y = kx подходит потому, что в ней y получается умножением x на постоянное число k. Если x увеличить в несколько раз, множитель k не изменится, поэтому y вырастет во столько же раз. Например, при k = 4 значение x = 3 даёт y = 12, а x = 6 — y = 24. Так одинаковый множитель сохраняет прямую зависимость.
Чтобы найти коэффициент по паре значений, раздели y на x: k = y/x. Например, если при x = 4 получаем y = 20, то k = 20/4 = 5, и зависимость записывается как y = 5x. Для нового значения x = 7 получим y = 5 · 7 = 35. Коэффициент лучше вычислять по паре, в которой значения известны и x не равен нулю.
Для проверки обратной пропорциональности перемножь x и y в каждой паре таблицы. Если произведения равны, то при изменении одной величины другая может меняться так, чтобы произведение оставалось прежним. Например, пары (2; 12) и (3; 8) дают произведение 24. Если произведения разные, обратная пропорциональность не подтверждается.
В формуле y = k/x число k делится на x, поэтому увеличение x в несколько раз уменьшает результат во столько же раз. Произведение x · y при этом остаётся равным k. Чтобы найти неизвестную величину, сначала вычисли постоянное произведение по известной паре, а затем раздели его на известное значение другой величины. Например, если xy = 24 и x = 6, то y = 24/6 = 4.
| Свойство | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Связь между величинами | Изменяются в одном направлении | Изменяются в противоположных направлениях |
| Формула | y = kx | y = k/x |
| Постоянная величина | Отношение y/x | Произведение xy |
| Что происходит с одной величиной при увеличении другой в несколько раз | Она увеличивается во столько же раз | Она уменьшается во столько же раз |
| Проверка по таблице значений | Одинаковы отношения y/x | Одинаковы произведения xy |
Сначала выясни, что именно остаётся постоянным: отношение или произведение. Затем выбери соответствующую формулу и проверь её на известных парах значений. Так проще не перепутать два вида зависимости.
Задача 1. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Цена одной тетради не меняется, поэтому стоимость зависит от количества прямо пропорционально. Сначала найдём стоимость одной тетради, затем умножим её на нужное количество.
Ответ: 150 рублей.
Задача 2. За 4 часа велосипедист проехал 48 км с постоянной скоростью. Какое расстояние он проедет за 7 часов? При постоянной скорости расстояние прямо пропорционально времени: за каждый час велосипедист проезжает одинаковое число километров. Найдём это расстояние за час, а затем вычислим путь за семь часов.
Ответ: 84 км.
Задача 3. 6 рабочих выполняют работу за 10 дней. За сколько дней выполнят эту же работу 15 рабочих, если производительность каждого одинакова? Объём работы постоянен, поэтому число рабочих и число дней обратно пропорциональны. Увеличение числа рабочих сокращает время, а произведение «рабочие · дни» сохраняется.
Ответ: 4 дня.
Можно решить, что величины прямо пропорциональны, только потому, что обе растут. Но одного общего направления изменения недостаточно: их отношение может меняться. Проверь частные y/x для нескольких пар; если они не одинаковы, прямой пропорциональности нет.
Ещё одна ошибка — перепутать постоянное отношение с постоянным произведением. При прямой зависимости постоянно y/x, а при обратной — xy. Чтобы себя проверить, выпиши для каждой пары именно нужную величину и сравни результаты.
Иногда обратную пропорциональность записывают как y = kx, потому что помнят только наличие коэффициента k. Эта формула описывает прямую зависимость, где значения увеличиваются вместе. Для обратной зависимости используй y = k/x и проверь, что произведение xy равно k.
В задаче на обратную пропорциональность нельзя одновременно увеличивать обе величины: это противоречит самой зависимости. Ошибку допускают, если не представляют, что происходит в ситуации. Проверь смысл условия: больше рабочих должны выполнить ту же работу быстрее, а не за большее число дней.
Для работы с пропорциональностью нужно уметь читать таблицы значений, находить отношения и перемножать числа. Эти действия позволяют установить, какая величина остаётся постоянной, и выбрать формулу. Если вычисления с дробями или делением вызывают затруднение, полезно сначала повторить их.
Прямая пропорциональность встречается в задачах о цене и количестве товаров, а также о скорости, времени и расстоянии при постоянной скорости. Обратная помогает описывать производительность и совместную работу: при одинаковой производительности большее число работников сокращает время. Понимание вида зависимости помогает выбрать правильный способ решения.
Как понять, являются ли две величины прямо пропорциональными?
Сравни соответствующие значения и раздели каждое значение y на x. Если во всех парах получается одно и то же число, величины прямо пропорциональны. Это верно при условии, что сама ситуация допускает такую зависимость.
Как найти коэффициент прямой пропорциональности?
Раздели значение y на соответствующее ему значение x: k = y/x. Затем подставь найденное k в формулу y = kx. Например, если x = 3 и y = 90, то k = 30.
Чем проверка прямой пропорциональности отличается от проверки обратной?
Для прямой пропорциональности проверяют отношение y/x: оно должно быть постоянным. Для обратной пропорциональности проверяют произведение xy: одинаковым должно быть оно.
Как составить формулу обратной пропорциональности по таблице?
Перемножь значения x и y в любой паре — это произведение k. Проверь, что в остальных парах получается то же число. Затем запиши формулу y = k/x.
Почему при увеличении числа рабочих время выполнения работы уменьшается?
Если каждый рабочий трудится с одинаковой производительностью, то общее количество работы остаётся тем же. Когда рабочих становится больше, каждому требуется выполнить меньшую долю работы, поэтому общее время сокращается. Число рабочих и время в этом случае обратно пропорциональны.
1.5. Прямая и обратная пропорциональность
