"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Деление числа в данном отношении — это способ распределить целое на части так, чтобы они сравнивались в заданных пропорциях. Например, отношение 2:3 означает, что на каждые две доли первой части приходятся три доли второй. Чтобы найти части, складывают члены отношения, делят исходное число на полученную сумму, а затем умножают значение одной доли на каждый член. Этот способ помогает распределять деньги, площадь и другие величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел a:b — это сравнение чисел с помощью деления: оно показывает, во сколько раз одно число отличается от другого, или какую часть одно составляет от другого. Запись a:b читают «a к b», а числа a и b называют членами отношения. Например, 2:3 означает, что первое число сравнивают со вторым как 2 к 3. Такое обозначение помогает описывать, как величины соотносятся друг с другом.
Деление числа в данном отношении — это представление числа в виде нескольких частей, отношение которых равно заданному. Например, разделить число в отношении 2:3 — значит найти две части, которые относятся как 2 к 3. Это не обязательно означает, что сами части равны 2 и 3: они могут быть больше, но должны сохранять такое же соотношение. Приём нужен, когда целое требуется распределить не поровну, а по указанным долям.
Если число делят в отношении a:b, полученные части относятся как a к b. Первая часть соответствует первому члену, а вторая — второму, поэтому менять их местами нельзя. Например, в отношении 2:5 на первую часть приходится две доли, а на вторую — пять. Это правило помогает правильно понять условие и определить порядок ответа.
Чтобы разделить число на две части в отношении a:b, представим первую часть как a одинаковых долей, а вторую — как b таких же долей. Доли должны быть одинаковыми, иначе отношение частей не будет соответствовать a:b. Например, при отношении 2:3 первая часть состоит из двух равных долей, вторая — из трёх. Так отношение превращается в понятный план распределения.
Всего долей будет a+b, потому что все доли обеих частей вместе составляют исходное число. Если разделить число N на a+b, получится значение одной доли. Делить нужно именно на сумму, а не на один из членов: иначе мы узнаем не размер общей доли, а число, которое не учитывает все части распределения. Например, для отношения 2:3 всего долей пять.
Когда размер доли найден, первую часть получают умножением на a, а вторую — на b. Такое умножение собирает нужное число одинаковых долей в каждую часть. Проверим сумму: a долей плюс b долей — это a+b долей, то есть всё исходное число. Значит, найденные части вместе возвращают N, если вычисления сделаны верно.
При делении на три части в отношении a:b:c действуем так же: первая часть содержит a долей, вторая — b, третья — c. Общее число долей равно a+b+c, поэтому одну долю находят делением исходного числа на эту сумму. Затем значение одной доли умножают по очереди на a, b и c. Такой же способ подходит для четырёх и более частей: складывают все члены отношения и соблюдают их порядок.
Члены отношения показывают количество долей, а не готовые значения частей. Если отношение 2:3, это не значит, что части всегда равны 2 и 3: при большем исходном числе доли просто будут крупнее. Общий множитель членов отношения распределение не меняет: отношения 2:3 и 4:6 равны, потому что во втором случае каждое число долей увеличено в два раза. Поэтому для вычислений можно использовать любое из этих равных отношений.
| Ситуация | Сумма членов отношения | Как найти одну долю | Как найти части |
|---|---|---|---|
| Деление числа N в отношении a:b | a+b | N ÷ (a+b) | Умножить одну долю соответственно на a и b |
| Деление числа N в отношении a:b:c | a+b+c | N ÷ (a+b+c) | Умножить одну долю соответственно на a, b и c |
| Проверка результата | — | — | Сложить части и сравнить их отношение с заданным |
Сначала найди сумму членов отношения — это общее число долей. Затем раздели на неё исходное число и умножь результат на каждый член по порядку. В последней строке таблицы указано, как проверить ответ: обе проверки должны выполняться.
Нужно найти две части: первая должна содержать две равные доли, а вторая — три. Поэтому сначала определим общее число долей, а затем узнаем размер одной. После этого соберём из долей обе части и проверим их сумму.
Проверка: 14 + 21 = 35, а 14:21 = 2:3. Ответ: 14 и 21.
Три члена отношения задают число долей каждой из трёх частей. Сложим их, чтобы узнать, сколько долей содержит всё число 96. Затем по одной доле для каждой части распределим нужное количество раз.
Проверка: 16 + 24 + 56 = 96. Ответ: 16, 24 и 56.
Общая площадь двух участков равна 180 м², а их площади относятся как 4 к 5. Значит, первый участок соответствует четырём долям, второй — пяти. Найдём размер доли и учтём, что результат нужно записать в квадратных метрах.
Проверка: 80 + 100 = 180 м², а 80:100 = 4:5 после сокращения на 20. Ответ: 80 м² и 100 м².
Ошибка: делить исходное число на первый или последний член отношения, например 35 ÷ 2. Так поступают, если воспринимают член отношения как общее число долей, хотя он относится только к одной части. Перед делением сложи все члены: при отношении 2:3 нужно делить на 5. Проверка: выбранный делитель должен учитывать доли каждой части.
Ошибка: менять части местами. Её допускают, когда не замечают порядок записи или записывают ответ не по порядку. Первому члену соответствует первая часть, второму — вторая; при отношении 2:3 частей должно быть две доли и три доли соответственно. Сравни полученные части с заданным отношением в том же порядке.
Ошибка: считать члены отношения готовыми значениями частей. Например, думают, что при отношении 2:3 части обязательно равны 2 и 3, хотя это лишь количество долей. Размер каждой доли зависит от всего числа, которое делят. Чтобы проверить себя, найди одну долю и умножь её на каждый член отношения.
Ошибка: не проверять ответ. Иногда сумма частей не равна исходному числу или сами части не дают нужного отношения. Это случается из-за вычислительной ошибки или неверно найденного числа долей. Сложи части и отдельно проверь их отношение: правильный ответ должен пройти обе проверки.
Для этой темы пригодятся умение находить отношение чисел, выполнять деление и умножение натуральных чисел, а также представлять величину в виде равных долей. Деление в отношении — частный случай распределения пропорциональных частей: каждая часть увеличивается вместе со всем числом, но заданное соотношение сохраняется. Похожее сравнение величин встречается при изучении пропорций и масштаба. Эти знания помогают, например, распределять расстояния на карте или делить общий запас по заданному соотношению.
Почему нужно делить число на сумму членов отношения?
Члены отношения показывают, сколько одинаковых долей приходится на каждую часть. Поэтому сначала нужно узнать общее число долей — сложить члены отношения. Деление исходного числа на эту сумму даёт значение одной доли.
Как найти каждую часть после того, как найдена одна доля?
Умножь значение одной доли на соответствующий член отношения. Например, при отношении 2:3 первая часть состоит из двух долей, а вторая — из трёх. Сохраняй порядок членов.
Можно ли делить число в отношении, где один из членов равен единице?
Да, единица означает, что соответствующая часть содержит одну долю. Например, при отношении 1:4 число делят на пять равных долей: одна доля идёт в первую часть, четыре — во вторую.
Как разделить число в отношении трёх или более чисел?
Сложи все члены отношения и раздели исходное число на эту сумму. Затем умножь значение одной доли на каждый член по порядку. Так можно распределить число на любое количество частей.
Как проверить, что число разделено в данном отношении правильно?
Сначала сложи найденные части: сумма должна быть равна исходному числу. Затем сравни части в том же порядке — их отношение должно совпадать с заданным. Если хотя бы одна проверка не проходит, проверь вычисления.
4.2. Деление числа в данном отношении
