"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Пропорция помогает найти неизвестное значение, когда две величины связаны определённым образом. Например, при одной и той же цене стоимость растёт вместе с массой покупки, а при одинаковом объёме работы увеличение числа рабочих сокращает время. Чтобы решить задачу, нужно определить вид зависимости, правильно расположить соответствующие значения и вычислить неизвестное. Затем полезно проверить единицы измерения и понять, подходит ли ответ по смыслу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух величин — частное от деления одной величины на другую. Оно показывает, сколько раз одна величина содержится в другой или как они соотносятся. Сравниваемые величины нужно выразить в одинаковых единицах: например, метры сравнивать с метрами, а не с сантиметрами. Отношение помогает увидеть связь между значениями и составить пропорцию.
Пропорция — равенство двух отношений. Её записывают, например, так: a : b = c : d, и читают: «a относится к b, как c относится к d». Числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Пропорция нужна, чтобы связать известные значения величин с неизвестным.
Прямо пропорциональные величины — это величины, у которых при увеличении или уменьшении одной в несколько раз другая изменяется во столько же раз. Например, при постоянной цене за килограмм увеличение массы покупки вдвое увеличивает и её стоимость вдвое. Такое понятие помогает понять, можно ли решить задачу обычной пропорцией.
Обратно пропорциональные величины — это величины, у которых увеличение одной в несколько раз сопровождается уменьшением другой во столько же раз. Например, если одну и ту же работу выполняют больше рабочих с одинаковой производительностью, времени требуется меньше. Понятие нужно, чтобы не перепутать порядок величин и верно найти неизвестное.
Чтобы распознать прямую пропорциональность, сначала зафиксируй остальные условия задачи: например, цена за единицу товара должна оставаться прежней. Затем сравни соответствующие значения: отношение стоимости к массе должно получаться одинаковым. Это означает, что на каждую единицу одной величины приходится постоянное количество другой. Если такое отношение меняется, простая прямая пропорциональность не подходит.
Обратную пропорциональность проверяют иначе: перемножают соответствующие значения и смотрят, остаётся ли произведение одним и тем же. Причина в том, что при неизменном общем объёме работы увеличение числа исполнителей компенсируется сокращением времени. Например, если рабочих стало больше в полтора раза, времени на тот же заказ потребуется в полтора раза меньше. Этот способ проверки полезен и в других задачах с постоянным общим результатом.
При прямой зависимости пропорцию составляют так, чтобы соответствующие значения стояли в одинаковом порядке. Если известны пары масса–стоимость, то в обоих отношениях сначала указывают массу, а затем стоимость, либо наоборот. Например, для масс 3 и 5 кг и стоимостей 240 и x рублей можно записать 3 : 5 = 240 : x. Одинаковый порядок позволяет сравнить именно те пары значений, которые связаны условием.
При обратной зависимости значения в отношениях располагают в противоположном порядке: рост числа исполнителей сопровождается уменьшением времени. Например, если известны 8 рабочих и 15 дней, а рабочих станет 12, можно записать 8 : 12 = x : 15. Вместо такой пропорции удобно сразу приравнять произведения: 8 · 15 = 12 · x. Равенство произведений отражает постоянство общего объёма работы.
Неизвестный член пропорции находят по её основному свойству: произведение крайних членов равно произведению средних. После перемножения остаётся уравнение, которое решают делением или другими известными действиями. Затем подставь найденное число в исходную пропорцию и проверь равенство произведений. Наконец, оцени смысл ответа: его единица должна подходить к вопросу, а величины — изменяться так, как требует условие.
| Что сравниваем | Как изменяются величины | Запись для четырёх соответствующих значений | Как найти неизвестное |
|---|---|---|---|
| Прямая пропорциональность | В одном направлении, во столько же раз | a : b = c : x, соответствующие значения стоят в одинаковом порядке | По основному свойству пропорции: a · x = b · c |
| Обратная пропорциональность | В противоположных направлениях, во столько же раз | a : b = x : c; также можно записать a · c = b · x | Приравнять произведения соответствующих значений |
Сначала выбери строку по смыслу задачи, а не по тому, какие числа больше или меньше. Затем расположи известные значения и неизвестное так, чтобы пары соответствовали условию. После вычисления проверь, что результат согласуется с направлением изменения величин.
Задача 1. За 3 кг яблок заплатили 240 рублей. Сколько стоят 5 кг яблок по той же цене за килограмм? Масса и стоимость прямо пропорциональны: цена одного килограмма не меняется. Обозначим стоимость 5 кг через x рублей.
Ответ: 5 кг яблок стоят 400 рублей.
Задача 2. Автомобиль проехал 180 км за 3 часа с постоянной скоростью. Сколько времени займёт путь 300 км с той же скоростью? При постоянной скорости расстояние и время прямо пропорциональны: чем дольше едет автомобиль, тем больше путь. Обозначим искомое время через x часов.
Ответ: путь займёт 5 часов.
Задача 3. 8 рабочих выполняют заказ за 15 дней. За сколько дней выполнят такой же заказ 12 рабочих, если производительность каждого одинакова? Объём работы не меняется, поэтому число рабочих и время обратно пропорциональны. Пусть новый срок равен x дням.
Ответ: заказ выполнят за 10 дней.
Составлять пропорцию, не разобравшись в связи величин, — рискованно: слова задачи сами по себе не подсказывают, какая зависимость нужна. Такую ошибку допускают, если сразу начинают вычисления, не проверив, что именно остаётся неизменным. Сначала назови обе величины и условие, которое сохраняется, а затем проверь, растут они вместе или в противоположных направлениях. Например, для одной и той же работы рост числа рабочих сокращает срок.
Если при прямой пропорциональности записать соответствующие значения в разном порядке, получится неверная связь. Это происходит, когда числа переписывают в пропорцию без подписей и теряют, какое из них относится к какой величине. Проверь каждую пару по условию и пиши значения в одинаковом порядке в обоих отношениях. Подстановка исходных чисел должна показывать один и тот же коэффициент изменения.
Обратную зависимость иногда ошибочно принимают за прямую: кажется, что больше рабочих должно означать больше дней. Путаница возникает из-за того, что рассматривают сами числа, а не общий объём работы. Спроси себя, что случится со сроком, если исполнителей станет больше, а заказ останется тем же. Если время должно уменьшиться, проверь постоянство произведения числа рабочих и дней.
Несогласованные единицы и отсутствие проверки тоже приводят к неверному ответу. Например, сравнение метров с сантиметрами без перевода и запись рублей вместо килограммов искажают смысл вычисления. Перед решением приведи величины к удобным единицам, а после — укажи единицу ответа и сравни результат с условием. Если большее расстояние при той же скорости получилось пройти быстрее, проверь ход решения.
Для решения задач на пропорции нужно уметь находить отношение величин, делить числа и решать простые уравнения вида a · x = b. Также важно переводить единицы измерения и выделять в условии известные и неизвестные значения. Эти навыки помогают аккуратно составлять запись и понимать результат.
Пропорции встречаются при изучении процентов и масштаба, а также в задачах на скорость и производительность. При совместной работе часто используется обратная пропорциональность: больше исполнителей — меньше времени на тот же объём работы. Умение определить зависимость помогает выбрать верный способ решения в разных темах.
Как понять, что величины прямо пропорциональны?
Проверь, что остальные условия не меняются, и сравни соответствующие значения. Если при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, зависимость прямая. Например, при одной и той же цене за килограмм стоимость зависит от массы именно так.
Как отличить обратную пропорциональность от прямой?
При прямой зависимости величины изменяются в одном направлении: одна выросла в несколько раз — другая тоже выросла во столько же. При обратной они изменяются в противоположных направлениях, а их произведение остаётся постоянным. Например, больше рабочих — меньше дней на ту же работу.
В каком порядке записывать величины в пропорции?
При прямой пропорциональности записывай соответствующие величины в одинаковом порядке: сначала первое значение одной величины и ему соответствующее значение другой. При обратной зависимости порядок в одном из отношений меняют на противоположный. Перед вычислением проверь, что пары значений действительно соответствуют друг другу.
Почему при обратной пропорциональности можно приравнять произведения?
При обратной пропорциональности произведение соответствующих значений постоянно. Если число рабочих умножить на количество дней, получится общий объём работы в рабочих-днях. Поэтому для двух вариантов выполнения одной и той же работы произведения равны.
Как проверить, что ответ задачи на пропорцию верный?
Подставь найденное значение в пропорцию и проверь равенство произведений крайних и средних членов. Затем проверь единицы измерения и сравни ответ с условием: например, при большей скорости время пути должно уменьшаться. Если результат противоречит смыслу задачи, проверь вид зависимости и вычисления.
4.5. Решение задач на пропорции
