23. Масштаб

Определения и обозначения

Масштаб — отношение длины отрезка на изображении к соответствующей длине в действительности. Чтобы это отношение показывало только соотношение длин, обе величины сначала выражают в одинаковых единицах, например в сантиметрах. Масштаб нужен, чтобы сравнивать уменьшенное изображение с настоящими размерами.

Численный масштаб — запись масштаба в виде 1:n. Она означает, что одной единице длины на плане или карте соответствуют n таких же единиц на местности. Например, в масштабе 1:100 одному сантиметру на плане соответствуют 100 сантиметров в действительности.

Расстояние на изображении — длина отрезка на карте или плане, которую измеряют линейкой. Обычно её записывают в сантиметрах или миллиметрах. Это исходная величина, по которой с помощью масштаба находят расстояние в реальности.

Действительное расстояние — расстояние между объектами в реальности, которому соответствует отрезок на изображении. Его можно вычислить по длине отрезка и масштабу. В зависимости от задачи ответ выражают, например, в метрах или километрах.

Как это устроено

Масштаб — это отношение двух длин, а сравнивать величины можно только тогда, когда они записаны в одинаковых единицах. Если одна длина дана в сантиметрах, а другая в метрах, численное отношение смешает сравнение с переводом единиц. Поэтому, например, метры сначала переводят в сантиметры, а уже потом составляют отношение. Так становится понятно, во сколько раз изображение меньше настоящего расстояния.

В численной записи масштаба первую величину обычно делают равной единице, чтобы легко читать соответствие. Запись 1:n сообщает, сколько единиц в действительности приходится на одну единицу изображения. Если масштаб 1:100, это не значит, что вся карта уменьшена на 100 сантиметров: речь идёт о соотношении любых соответствующих длин. Для удобства в качестве первой единицы часто берут сантиметр.

При масштабе 1:n действительное расстояние в выбранных единицах в n раз больше длины отрезка на изображении. Поэтому, если на плане отрезок равен d сантиметрам, в действительности он равен d · n сантиметрам. Например, при масштабе 1:100 отрезку длиной 3 см соответствует 3 · 100 = 300 см. Умножение нужно потому, что карта показывает уменьшенную копию расстояния.

Масштаб можно применять и в обратную сторону: по действительному расстоянию найти, какой длины будет отрезок на плане. Для этого действительное расстояние делят на n, ведь на изображении оно уменьшено в n раз. Перед делением нужно выразить расстояние в единицах, подходящих для ответа. Например, если считаем длину на плане в сантиметрах, километры сначала переводим в сантиметры.

При вычислениях встречаются разные единицы: 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м = 100 000 см. Перевод помогает применить масштаб, а затем записать ответ так, как требуется в задаче. Например, километры удобны для расстояний между городами, а сантиметры — для длины отрезка на карте. Проверяй не только вычисление, но и единицу ответа: число без подходящей единицы может быть понято неправильно.

Как находить расстояния по масштабу

Таблица помогает выбрать действие по тому, что требуется найти. Сначала определи известную величину и проверь, совпадают ли единицы; затем выполни нужное действие с числом масштаба. После вычисления проверь, подходит ли единица ответа к условию.

Разбор задач

Задача 1. Масштаб плана 1:100. Какому действительному расстоянию соответствует отрезок длиной 3 см на плане? Нужно найти настоящее расстояние, поэтому длину отрезка умножаем на 100. Сначала результат получим в сантиметрах, как и заданную длину.

1. На плане отрезок равен 3 см, а знаменатель масштаба — 100.
2. Находим действительную длину: 3 · 100 = 300 см.
3. Переводим в метры: 300 см = 3 м.

Ответ: 3 м. Перевод в метры удобен, потому что действительное расстояние обычно указывают не в сантиметрах.

Задача 2. Расстояние между городами на карте с масштабом 1:2 000 000 равно 4,5 см. Найдите действительное расстояние в километрах. Искомая длина находится в действительности, значит, сначала умножаем длину на карте на знаменатель. Полученные сантиметры затем переводим в километры.

1. Вычисляем расстояние в сантиметрах: 4,5 · 2 000 000 = 9 000 000 см.
2. Переводим сантиметры в километры: 9 000 000 : 100 000 = 90 км.
3. Проверяем порядок величины: между городами ожидается расстояние в километрах, а не в сантиметрах.

Ответ: 90 км. Деление на 100 000 выполнено потому, что столько сантиметров содержится в одном километре.

Задача 3. Действительное расстояние между пунктами равно 12 км. Какой длины отрезком оно будет изображено на карте масштаба 1:300 000? Здесь ищем длину на изображении, значит, действительное расстояние нужно разделить на 300 000. Сначала выразим 12 км в сантиметрах, чтобы результат получить в сантиметрах на карте.

1. Переводим километры в сантиметры: 12 км = 12 · 100 000 = 1 200 000 см.
2. Делим действительную длину на знаменатель масштаба: 1 200 000 : 300 000 = 4 см.
3. Проверяем: отрезок на карте должен быть короче соответствующего расстояния в действительности.

Ответ: 4 см. В этой задаче перевод единиц сделан до деления, потому что именно сантиметровая длина требуется на карте.

Типичные ошибки

Сравнивают длины, выраженные в разных единицах, например сантиметры на карте и километры в действительности. Так делают, когда торопятся и забывают, что отношение должно сравнивать одинаковые единицы; численный масштаб получается неверным. Перед вычислением подпиши единицы у каждой величины. Если они различаются, сначала переведи одну длину в другую единицу.

При поиске действительного расстояния делят длину на знаменатель масштаба. Ошибка возникает, если запомнить число масштаба, но не учесть, что изображение уменьшено. Настоящая длина должна быть больше длины на карте, поэтому здесь нужно умножение. Проверь ответ: если получилось меньше исходного отрезка, вероятно, действие выбрано неверно.

При поиске длины на карте умножают действительное расстояние на знаменатель. Часто путают это действие с предыдущим, хотя изображённый отрезок меньше реального расстояния. Чтобы найти его длину, действительную величину делят на n. Самопроверка: после вычисления длина на плане должна оказаться меньше, чем расстояние в тех же единицах в действительности.

Переводят единицы неверно или оставляют результат в сантиметрах, хотя в условии нужны километры. Это происходит, если перевод считают необязательной частью вычисления или путают, на какое число делить. Запомни соотношение 1 км = 100 000 см и проверь, какая единица требуется в ответе. Полезно записать перевод отдельным действием и не отбрасывать единицы до конца решения.

Связь с другими темами

Для работы с масштабом нужно уметь измерять отрезки линейкой и переводить миллиметры, сантиметры, метры и километры. Эти навыки помогают правильно начать решение и выбрать единицы ответа. Без них верный порядок действий может привести к неверно записанному результату.

Масштаб используют при чтении географических карт, планов местности и технических чертежей. Он позволяет поместить большой объект или территорию на лист и при этом сохранять соотношение длин. По нему можно оценить расстояния и размеры реальных объектов.

Тема опирается на отношения и пропорции: соответствующие длины изменяются во столько раз, сколько показывает масштаб. Тот же принцип помогает решать задачи на пропорциональное увеличение и уменьшение. Поэтому умение работать с масштабом пригодится и в других задачах на соотношение величин.

Что запомнить

• Масштаб показывает, во сколько раз изображение меньше действительности.
• В записи 1:n одной единице длины на изображении соответствуют n таких же единиц в действительности.
• Для нахождения действительного расстояния длину на изображении умножают на знаменатель масштаба.
• Для нахождения длины на изображении действительное расстояние делят на знаменатель масштаба.
• Перед вычислениями длины нужно выразить в одинаковых единицах.
• Ответ следует перевести в единицы, требуемые в задаче.