§18. Десятичное приближение обыкновенной дроби

Определения и обозначения

Десятичное приближение обыкновенной дроби — десятичная дробь, близкая к значению обыкновенной дроби и полученная делением или округлением. Например, вместо длинной записи можно использовать число с несколькими цифрами после запятой. Такое приближение удобно, когда нужно сравнить числа или выполнить вычисления.

Приближение с недостатком — десятичная дробь, меньшая исходной дроби. Например, 0,83 — приближение с недостатком для 5/6, потому что 0,83 < 5/6. Оно показывает значение снизу и помогает понять, между какими числами находится дробь.

Приближение с избытком — десятичная дробь, большая исходной дроби. Для 5/6 таким приближением служит 0,84, поскольку 0,84 > 5/6. Эти два вида приближения часто используют вместе, чтобы заключить исходное число между двумя десятичными дробями.

Точность приближения — разность между исходным числом и его приближением. При округлении до определённого разряда эта разность не превосходит половины единицы данного разряда. Точность нужна, чтобы оценить, насколько близка удобная десятичная запись к точному значению.

Как это устроено

Чтобы представить обыкновенную дробь десятичной, числитель делят на знаменатель: дробь a/b означает частное a : b. Если деление выполняется не нацело, после запятой можно продолжить его, приписывая к остатку нули. Например, при делении 3 на 8 постепенно получают цифры десятичной записи. Такой способ сохраняет значение дроби, потому что деление числителя на знаменатель — это и есть смысл дробной черты.

В столбик после получения целой части ставят запятую, а остаток умножают на 10, чтобы получить следующую цифру частного. Затем новый остаток снова умножают на 10 и продолжают деление. Если остаток стал равен нулю, новых цифр не будет и запись закончится. Если остатки начинают повторяться, дальше будут повторяться и цифры частного, поэтому деление может продолжаться бесконечно.

Чтобы выбрать приближение с недостатком или избытком, нужно не просто обрезать запись, а сравнить полученное число с исходной дробью. Например, 5/6 = 0,8333…; после двух цифр после запятой получаем 0,83, которое меньше дроби. Следующая сотая — 0,84 — уже больше неё. Поэтому 0,83 и 0,84 заключают 5/6 между собой, а их сравнение определяет вид каждого приближения.

Если требуется получить приближение с заданной точностью, сначала определяют, до какого разряда нужно дойти. Например, для округления до сотых требуется сохранить две цифры после запятой, а цифра тысячных нужна для решения об округлении. Деление останавливают после получения этой следующей цифры. Так можно не выполнять лишние действия и при этом правильно оценить, насколько близок результат.

Округление выбирает ближайшую десятичную дробь с требуемым числом знаков. Смотрят на цифру сразу после последнего сохраняемого разряда: при цифре от 0 до 4 сохраняемую цифру оставляют, при цифре от 5 до 9 увеличивают на единицу. Это правило помогает выбрать из двух соседних значений то, которое ближе к точному числу. Например, 0,586 при округлении до сотых становится 0,59, потому что цифра тысячных равна 6.

Десятичные приближения и их точность

Таблица показывает, как различаются способы записи и как оценивать полученное число. Сравнение с исходной дробью помогает отличить приближение с недостатком от приближения с избытком. В строках округления указано, до какого разряда оставляют результат.

Разбор задач

Представьте дробь 3/8 в виде десятичной дроби.

Нужно разделить числитель на знаменатель и выяснить, закончится ли деление. Поскольку 3 меньше 8, целая часть частного равна нулю. Продолжим деление после запятой, каждый раз используя остаток.

1. Записываем 3 : 8. В целой части получаем 0, остаток равен 3.
2. Ставим запятую и умножаем остаток 3 на 10. 30 : 8 = 3, остаток 6.
3. Умножаем остаток 6 на 10. 60 : 8 = 7, остаток 4.
4. Умножаем остаток 4 на 10. 40 : 8 = 5, остаток 0, значит, деление закончилось.

Полученные цифры после запятой — 3, 7 и 5. Остаток стал нулём, поэтому дальше цифр не появится и запись точная, а не приближённая. Ответ: 3/8 = 0,375.

Запишите приближения дроби 5/6 с недостатком и с избытком до сотых.

Найдём десятичную запись дроби и выпишем две цифры после запятой. Но обрезать запись недостаточно: чтобы назвать приближения, надо проверить, какая сотая меньше дроби, а какая больше. Продолжение деления показывает, что после 0,83 цифры 3 повторяются.

1. Делим 5 на 6: 5/6 = 0,8333… .
2. Оставляем две цифры после запятой и получаем 0,83. Это меньше 0,8333…, значит, число 0,83 — приближение с недостатком.
3. Следующая сотая после 0,83 — 0,84. Она больше 0,8333…, поэтому это приближение с избытком.

Можно проверить заключение: 0,83 < 5/6 < 0,84. Бесконечная запись здесь нужна, чтобы сравнение было обоснованным, но записывать все повторяющиеся цифры не требуется. Ответ: с недостатком — 0,83, с избытком — 0,84.

Округлите дробь 7/12 до тысячных и укажите, с какой точностью получен результат.

Для округления до тысячных нужно сохранить три цифры после запятой. Поэтому деление продолжают ещё на один разряд, чтобы узнать цифру десятитысячных. По ней решают, оставить тысячные без изменения или увеличить последнюю цифру.

1. Делим 7 на 12: 7/12 = 0,58333… . Цифры тысячных — 583, следующая цифра равна 3.
2. Так как 3 меньше 5, цифру тысячных не увеличиваем. Получаем округлённое число 0,583.
3. При округлении до тысячных возможная разность не превосходит половины тысячной: 0,001 : 2 = 0,0005.

Результат 0,583 — округление до тысячных; точность означает возможную ошибку, а не количество записанных цифр. В этом примере ошибка равна 0,00033…, что меньше 0,0005. Ответ: 7/12 ≈ 0,583 с точностью до 0,0005.

Типичные ошибки

Иногда считают, что десятичная запись любой дроби обязательно заканчивается. Это ошибка: деление может дать бесконечную периодическую дробь, например 5/6 = 0,8333… . Такое ожидание возникает потому, что некоторые знакомые дроби, например 3/8, дают конечную запись. Проверяйте остаток: если он стал нулём, деление закончилось; если остатки повторяются, цифры будут повторяться тоже.

Другая ошибка — назвать число приближением с недостатком или избытком, не сравнив его с дробью. Часто ориентируются лишь на количество цифр после запятой, но оно не показывает, с какой стороны находится число. Сравните десятичную запись и исходную дробь, например продолжив деление. Для 5/6 проверка 0,83 < 5/6 < 0,84 сразу показывает оба вида приближения.

При округлении можно посмотреть не на ту цифру или увеличить число не на единицу последнего разряда. Причина обычно в том, что путают разряды: при округлении до сотых решает цифра тысячных. Подпишите разряды или выпишите число с одной дополнительной цифрой. Если следующая цифра от 5 до 9, увеличьте последнюю сохраняемую цифру на 1, а не прибавляйте целую единицу к числу.

Не следует считать, что округление до сотых всегда означает точность 0,01. Число 0,01 — единица разряда сотых, а максимальная ошибка при округлении до него равна её половине, то есть 0,005. Эту ошибку допускают, смешивая число знаков и точность. Чтобы проверить себя, разделите единицу нужного разряда пополам: для сотых это 0,01 : 2 = 0,005.

Связь с другими темами

Для работы с десятичными приближениями нужно уметь делить натуральные числа и десятичные дроби, сравнивать обыкновенные дроби и округлять десятичные дроби. Эти навыки помогают получить запись дроби и оценить её положение относительно исходного значения. Если деление продолжается бесконечно, приближение позволяет выполнять вычисления без записи всех цифр.

Десятичные приближения пригодятся при вычислениях с периодическими дробями и при оценке результатов измерений. Приборы часто показывают ограниченное число цифр, поэтому результат измерения тоже может быть приближённым. В задачах, где точное значение неудобно использовать, округлённая запись делает вычисления проще, а указание точности помогает оценить возможную ошибку.

Что запомнить

• Обыкновенную дробь можно представить как частное числителя и знаменателя.
• Деление может закончиться, а может продолжаться бесконечно с повторением цифр.
• Приближение с недостатком меньше исходного числа, а с избытком — больше.
• Округляя до нужного разряда, учитывают цифру следующего разряда.
• При округлении до десятых погрешность не превосходит 0,05; до сотых — 0,005.
• Число знаков после запятой и точность приближения — не одно и то же.