"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Сложный процентный рост описывает величину, которая за каждый шаг увеличивается на один и тот же процент от своего текущего значения. Так меняются, например, накопления при ежегодном начислении процентов или цена товара при повторных повышениях. Чтобы рассчитать результат, процент превращают в коэффициент роста и умножают на него снова и снова. Одинаковые умножения удобно записать степенью, а начальное значение при необходимости можно восстановить делением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложный процентный рост — многократное увеличение величины на один и тот же процент, который каждый раз считают от её текущего значения. Например, при ежегодном росте на 4% второй год прибавка считается уже от суммы после первого года. Это понятие помогает описывать изменения, при которых каждый новый результат становится основой для следующего.
Начальное значение — величина до первого процентного увеличения; её обозначают, например, a₀. Если сумма на счёте в начале составляла 5000 рублей, то именно 5000 — начальное значение. Обозначение позволяет отделить исходную величину от значений, полученных позднее.
Коэффициент роста — число, показывающее, во сколько раз величина становится больше за один шаг. При увеличении на p% он равен 1 + p/100: единица соответствует исходным 100%, а p/100 — прибавке. Коэффициент нужен, чтобы заменить прибавление процента простым умножением.
Множитель сложного роста за n шагов — число, показывающее, во сколько раз начальная величина увеличилась за n одинаковых шагов. Если коэффициент роста равен 1 + p/100, множитель за n шагов равен (1 + p/100)ⁿ. С его помощью можно сразу найти результат, не выписывая все промежуточные значения.
Увеличить величину на p% — значит прибавить к ней p/100 от неё самой. Вся исходная величина составляет 100%, или 1, поэтому после прибавления получится 1 + p/100 исходной величины. Например, при росте на 10% новый результат составляет 1 + 0,1 = 1,1 от прежнего. Поэтому увеличение удобно выполнять умножением на коэффициент роста.
При сложном росте очередной процент считают не от начального значения, а от результата предыдущего шага. Причина в том, что именно эта новая величина становится текущей: после первого увеличения она уже включает первую прибавку. Поэтому на каждом шаге применяется один и тот же коэффициент, но произведение считают от обновлённого значения. Так величина может расти быстрее, чем при одинаковых прибавках от начала.
Если коэффициент роста равен k, то после первого шага получаем a₀ · k, а после второго — a₀ · k · k. Продолжая умножать, после n шагов получаем a₀ · kⁿ, потому что степень показывает повторение одинакового множителя. Подставив k = 1 + p/100, получаем формулу a₀(1 + p/100)ⁿ. Она позволяет вычислить результат сразу, если известны начальное значение, процент и число шагов.
При простом росте прибавка каждый раз равна одному и тому же проценту от начальной величины. Например, если начать со 100 и дважды прибавить по 10% от начала, получится 100 + 10 + 10 = 120. При сложном росте первый шаг тоже даёт 110, но второй процент считают уже от 110, и результат равен 121. Разница возникает потому, что при сложном росте растёт и величина, от которой находят очередную прибавку.
Обратный расчёт возвращает нас от результата к предыдущему значению. Если после увеличения на 10% получилось 110, то до увеличения было 110 : 1,1 = 100. Делить нужно потому, что прямой шаг выполнялся умножением: деление отменяет это умножение. Чтобы найти начальное значение после нескольких шагов, на коэффициент роста делят столько раз, сколько шагов было выполнено.
| Момент | Число шагов | Значение | Во сколько раз больше начального |
|---|---|---|---|
| В начале | 0 | a₀ | 1 |
| После первого шага | 1 | a₀(1 + p/100) | 1 + p/100 |
| После второго шага | 2 | a₀(1 + p/100)² | (1 + p/100)² |
| После n шагов | n | a₀(1 + p/100)ⁿ | (1 + p/100)ⁿ |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди коэффициент роста по заданному проценту, затем выбери строку с нужным числом шагов. В третьем столбце записано само значение, а в четвёртом — множитель, на который изменилось начальное значение. Если известна начальная величина, умножь её на множитель из последнего столбца.
Задача 1. Цена товара 200 рублей увеличилась на 10%. Найдите новую цену. Здесь указан один шаг роста, поэтому достаточно определить, во сколько раз стала больше цена, а затем применить этот коэффициент к начальной стоимости.
Ответ: новая цена — 220 рублей. Проверить результат можно иначе: 10% от 200 рублей — это 20 рублей, значит, после увеличения получится 200 + 20 = 220 рублей.
Задача 2. На счёте было 5000 рублей. Сумма увеличивается на 4% каждый год. Сколько рублей будет на счёте через 3 года? Процент начисляют на сумму, которая уже есть на счёте, поэтому нужно учесть три последовательных шага роста, а не три прибавки от первоначальных 5000 рублей.
Ответ: через 3 года на счёте будет 5624,32 рубля. Степень 3 показывает, что коэффициент применяется три раза, по одному разу за каждый год.
Задача 3. После двух последовательных увеличений на 20% товар стал стоить 720 рублей. Найдите его первоначальную цену. Известен результат двух шагов, а начальную стоимость нужно восстановить, поэтому пойдём от конца к началу и отменим каждое увеличение делением.
Ответ: первоначальная цена — 500 рублей. Проверка: 500 · 1,2 = 600, а 600 · 1,2 = 720 рублей.
При повторном росте иногда каждый раз находят процент от начального значения. Так поступают, потому что исходную величину легче удержать в расчёте, но это даёт простой, а не сложный рост. Чтобы проверить себя, сравни основание для вычисления процента на каждом шаге: при сложном росте это текущий результат. Например, после первого увеличения на 10% от 100 получается 110, и следующий процент считают от 110.
Ещё одна ошибка — записать коэффициент роста как p/100 и забыть прибавить единицу. Процент показывает только добавку, а новая величина включает и прежние 100%, поэтому при росте на 5% коэффициент равен 1,05, а не 0,05. Проверь, что умножение действительно увеличивает число: коэффициент роста при положительном проценте должен быть больше 1. Умножение на 0,05, наоборот, оставило бы лишь малую часть исходного значения.
При уменьшении на p% могут ошибочно использовать коэффициент 1 + p/100. Его применяют для роста, потому что к целой величине прибавляют процент; при уменьшении процент нужно вычесть, и коэффициент равен 1 − p/100. Для проверки при снижении на 5% коэффициент должен быть меньше 1: это 0,95. Если он больше единицы, расчёт увеличивает величину вместо того, чтобы уменьшать её.
При обратном расчёте иногда умножают известный результат на коэффициент роста. Так делают, перенося привычное действие из прямого расчёта, но умножение добавило бы ещё один шаг роста. Чтобы отменить прежнее умножение, нужно делить: например, предыдущее значение после роста на 10% находят как текущее : 1,1. Проверка: если затем умножить ответ на 1,1, должно получиться известное текущее значение.
Для расчётов нужно уметь находить процент от числа и записывать процент дробью или десятичным числом: например, 4% = 4/100 = 0,04. Сложный рост связывает проценты с умножением, а одинаковые повторные умножения — со степенями. Та же схема встречается при расчётах накоплений, изменении цен, численности населения и других величин, которые меняются на один и тот же процент за каждый период. В каждом случае важно определить, от какой величины считают очередное изменение.
Чем сложный процентный рост отличается от простого?
При простом росте каждую прибавку считают от начального значения. При сложном — от значения, которое получилось на предыдущем шаге, поэтому прибавки со временем увеличиваются.
Почему при росте на 10% нужно умножать на 1,1?
Сто процентов исходной величины — это само значение, то есть множитель 1. Ещё 10% составляют 0,1 от него, поэтому вместе получаем 1 + 0,1 = 1,1.
Как найти значение после нескольких одинаковых процентных увеличений?
Найди коэффициент роста: при увеличении на p% он равен 1 + p/100. Начальное значение умножь на этот коэффициент, возведённый в степень, равную числу шагов.
Что делать, если величина каждый раз уменьшается на один и тот же процент?
При уменьшении на p% нужно умножать текущее значение на 1 − p/100. Например, при уменьшении на 5% коэффициент равен 0,95.
Как найти начальное значение, если известны конечное значение и число шагов?
Раздели конечное значение на коэффициент роста столько раз, сколько было шагов. То же самое можно сделать одним действием: разделить на коэффициент, возведённый в степень числа шагов.
4. Сложный процентный рост
