"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Простой процентный рост описывает, как величина увеличивается на одинаковый процент от своего начального значения за каждый период. Он помогает рассчитывать изменения цены, вклада и других величин, если процент каждый раз считают от одной и той же основы. Главное — найти прирост за один период, умножить его на число периодов и прибавить к начальному значению. При этом периоды в задаче должны соответствовать заданному темпу роста.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процентный рост — это увеличение величины на заданное число процентов от выбранной основы. Например, фраза «цена выросла на 5%» требует уточнения: 5% от какой цены? Основа нужна, чтобы правильно найти, сколько именно прибавилось.
Простой процентный рост — рост, при котором за каждый одинаковый период величина увеличивается на один и тот же процент от начального значения. Например, если каждый год прибавляют 5% от первоначальной суммы, годовые прибавки равны. Это определение помогает отличить простой рост от случая, когда проценты считают от уже изменившейся суммы.
Начальное значение — величина до начала роста; его обозначают A₀. Если речь идёт о цене, это цена до повышения, а если о вкладе — сумма в начале срока. Обозначение позволяет записывать общий способ решения, а не каждый раз повторять длинное условие.
Темп роста — число процентов, на которое величина увеличивается за один период; его обозначают p%. Периодом может быть год, месяц или другой промежуток времени, названный в задаче. Это обозначение помогает связать процент с числом периодов и правильно применить формулу.
Чтобы найти прибавку за один период, вычисляют p% от начального значения: A₀ · p/100. Деление на 100 переводит проценты в долю от целого: например, 5% — это 5/100. Полученная величина и есть прирост, который прибавится за один период, потому что именно такую часть начальной величины задаёт темп роста.
При простом процентном росте основа вычисления не меняется: процент каждый раз берут от A₀. Поэтому после первого периода прибавка равна A₀ · p/100, и после следующего периода она будет такой же. За n периодов одинаковая прибавка повторится n раз, значит общий прирост равен n · A₀ · p/100.
Чтобы найти величину после n периодов, к начальному значению прибавляют общий прирост. Получается Aₙ = A₀ + n · A₀ · p/100; вынеся A₀ за скобки, получаем Aₙ = A₀(1 + np/100). Такая запись удобна: подставив начальное значение, темп и число периодов, можно сразу вычислить результат.
Простой и сложный рост различаются тем, от какой величины берут процент. При простом росте процент каждый раз считают от начального значения, поэтому прибавки одинаковы. Если процент считать от суммы, которая уже увеличилась, следующая прибавка станет больше предыдущей — это сложный рост, и формула простого роста для него не подходит.
В формуле число периодов должно соответствовать периоду, за который задан процент. Если темп роста дан за год, n нужно считать в годах; месяцы сначала переводят в подходящую долю года или используют согласованный расчёт. Иначе в формулу попадут величины с разными единицами периода, и ответ окажется неверным.
| Что рассматриваем | Обозначение или способ вычисления |
|---|---|
| Начальное значение | A₀ |
| Темп роста за один период | p% |
| Прирост за один период | A₀ · p/100 |
| Общий прирост за n периодов | n · A₀ · p/100 |
| Значение после n периодов | Aₙ = A₀(1 + np/100) |
Сначала определи начальное значение и темп роста за один период, затем установи число периодов. Для поиска итоговой величины можно найти общий прирост и прибавить его к A₀ или воспользоваться последней формулой таблицы. Проверь, что число периодов задано в тех же единицах, что и темп роста.
Цена товара 800 рублей увеличивается на 5% за один год. Найдём цену через год, считая, что пять процентов берутся от начальной цены. Так как нужен результат ровно после одного года, достаточно вычислить одну прибавку и добавить её к исходной цене.
Вклад составляет 12 000 рублей и ежегодно увеличивается на 4% от первоначальной суммы. Найдём сумму через 3 года. Слова «от первоначальной суммы» подсказывают, что каждый год прибавка будет одинаковой, поэтому сначала вычислим её за один год.
После 4 лет простого процентного роста на 6% в год величина стала равна 1 480. Найдём начальное значение. Здесь начальная величина неизвестна, поэтому вместо готового числа используем A₀ и запишем равенство по формуле простого роста.
Если каждый период находить процент от текущего значения, получится сложный, а не простой рост. Так делают, потому что сумма после прибавки кажется естественной новой основой, но условие простого роста сохраняет начальное значение. Проверь расчёт: одинаковые периоды при простом росте должны давать одинаковые прибавки.
Иногда находят прирост за один период, но забывают умножить его на число периодов. Это происходит, когда однопериодную прибавку принимают за общий прирост. Для проверки выпиши число периодов и посчитай, сколько раз должна прибавиться найденная величина.
Ещё одна ошибка — прибавить p вместо p/100 или вычислить A₀ · p без деления на 100. Проценты обозначают сотые доли, поэтому, например, 4% — это 4/100, а не 4 целых. Проверь результат на простом примере: 5% от 100 должны быть равны 5, а не 500.
Нельзя прибавлять к начальному значению само число процентов: например, к 800 прибавлять 5. Число 5 — это количество процентов, а не размер прироста в рублях или других единицах. Сначала найди соответствующую часть начальной величины, а потом сложи её с исходным значением.
Для расчётов нужно уметь находить процент от числа и переводить проценты в дробь: например, 4% записывают как 4/100. Эти действия дают прирост за один период. Чтобы искать неизвестное начальное значение или число периодов, пригодятся умение составлять выражения и решать простые уравнения.
Тема применяется в задачах о ценах, вкладах и других величинах, которые постепенно меняются. Она также помогает сравнивать простой рост со сложным: достаточно проследить, остаётся ли основа вычисления неизменной. Это различие важно учитывать, когда по условию требуется выбрать способ расчёта.
Что означает простой процентный рост?
Это увеличение величины на одинаковый процент от начального значения за каждый одинаковый период. Поэтому прирост за все периоды можно найти умножением прироста за один период на число периодов.
От какой величины считают проценты при простом росте?
Проценты каждый раз считают от начального значения — величины до начала роста. Уже накопленный прирост не меняет основу вычислений.
Как найти прирост за один период?
Нужно умножить начальное значение A₀ на темп роста p и разделить на 100: A₀ · p/100. Например, 5% от 800 — это 800 · 5/100 = 40.
Как вычислить значение после нескольких периодов?
Найди прирост за один период, умножь его на число периодов n и прибавь к начальному значению. Формула: Aₙ = A₀(1 + np/100).
Чем простой процентный рост отличается от сложного?
При простом росте процент каждый раз берут от начального значения, поэтому одинаковые периоды дают равные приросты. При сложном росте процент считают от уже увеличенной величины, и прирост меняется.
3. Простой процентный рост
