"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Простой процентный рост описывает ситуацию, когда величина за каждый период увеличивается на одинаковый процент от своего первоначального значения. Поэтому прирост за период остаётся одним и тем же, даже если периоды повторяются. Чтобы найти результат, процент переводят в десятичную дробь, вычисляют прирост за один период, умножают его на число периодов и прибавляют к начальной величине. Такой способ помогает решать задачи о ценах, вкладах и равномерном увеличении других величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Начальная величина — значение, от которого каждый раз считают процентный прирост. Например, если вклад изначально равен 8 000 рублей, именно эта сумма служит начальной величиной. Она нужна как постоянная основа расчёта для всех периодов. Обозначим её буквой A.
Процентный прирост — увеличение величины на заданное число процентов от начальной величины. Если начальная цена равна 200 рублям, а прирост составляет 5%, то это не 5 рублей, а 5% от 200 рублей. Прирост показывает, на сколько единиц увеличилась величина, и обозначим его d за один период.
Простой процентный рост — последовательное увеличение на одинаковую долю начальной величины за каждый период. Например, ежегодно к сумме вклада могут прибавлять один и тот же процент от первоначального вклада. Такое определение помогает отличить простой рост от случаев, когда процент каждый раз считают от уже изменившейся величины. Общий прирост за n периодов обозначим D.
Темп роста — процент, на который величина увеличивается за один период. Его обычно записывают в процентах, например 4% или 5%, а в вычислениях переводят в десятичную дробь: 4% = 0,04. Темп показывает долю начальной величины, которая прибавляется за каждый период. Обозначим его p%.
При простом процентном росте процент каждый раз берут от начальной величины. Это следует из самого правила: за период прибавляют одинаковую долю первоначального значения, а не долю того, что получилось после предыдущего увеличения. Поэтому начальная величина остаётся базой расчёта, даже если периодов несколько. Например, при начальной сумме 1 000 рублей и темпе 5% каждый период прирост считают от 1 000 рублей.
Чтобы найти прирост за один период, умножь начальную величину на темп роста, записанный десятичной дробью. Процент — это сотая часть, поэтому 5% = 5/100 = 0,05, а 4% = 0,04. Если начальная величина равна A, а темп — p%, то прирост за период d = A × p/100. Умножение на долю находит именно ту часть начальной величины, которая должна прибавиться.
За несколько периодов одинаковые приросты складываются. Если за один период прибавляется d, то за n периодов общий прирост равен d + d + … + d, где слагаемое d повторяется n раз. Сложение одинаковых слагаемых заменяют умножением: D = d × n. Подставив формулу для d, получаем общий прирост: D = A × p/100 × n.
Конечная величина получается, если к начальной прибавить весь прирост: F = A + D. Вместо D можно подставить A × p/100 × n и вынести A за скобки: F = A × (1 + p/100 × n). Скобки показывают, во сколько раз умножается начальное значение после всех периодов. Не путай этот способ с последовательным увеличением на процент от текущей величины: там каждый период меняется база расчёта, поэтому приросты обычно уже не одинаковы.
| Что обозначает | Обозначение | Как найти |
|---|---|---|
| Начальная величина | A | Дана в условии |
| Темп роста за период | p% | Дан в условии; для вычислений перевести в дробь p/100 |
| Число периодов | n | Дано в условии |
| Прирост за один период | d | d = A × p/100 |
| Общий прирост | D | D = d × n |
| Конечная величина | F | F = A + D |
Сначала выпиши известные данные из условия и выбери нужную строку таблицы. Если требуется итог за несколько периодов, найди сначала прирост за один период, а затем общий прирост и конечную величину. Проверь, что темп роста при вычислениях записан дробью, а не целым числом процентов.
Условие. Цена товара 200 рублей увеличивается на 5% от первоначальной цены. Найди цену после одного периода. Здесь первоначальная цена и есть база расчёта: нужно найти 5% от 200 рублей, а затем прибавить эту сумму к цене. Поскольку период один, найденный прирост не требуется умножать на число периодов.
Ответ: 210 рублей.
Условие. Вклад составляет 8 000 рублей. Каждый год к нему прибавляют 4% от первоначальной суммы. Найди сумму через 3 года. Слова «от первоначальной суммы» подсказывают, что ежегодный прирост будет одинаковым. Сначала найдём прибавку за один год, затем учтём три одинаковых периода.
Ответ: 8 960 рублей.
Условие. После 4 периодов простого процентного роста величина стала равна 1 120, а начальная величина была 1 000. Найди темп роста за период. Сначала выясним, сколько всего прибавилось за четыре периода. Затем разделим эту прибавку поровну между периодами и узнаем, какую долю начальной величины составляет одна прибавка.
Ответ: 3% за период.
Считать процент от текущей величины. Так делают, потому что представляют каждое увеличение как новый расчёт от получившегося результата. Но тогда база меняется, и это уже не простой процентный рост. Проверь себя: во всех периодах в расчёте процента должно стоять одно и то же начальное значение.
Забыть умножить прирост на число периодов. Можно найти верную прибавку за один период и принять её за общий прирост. Это происходит, когда не учитывают, сколько раз повторяется увеличение. Проверь решение: если периодов несколько, общий прирост должен учитывать каждый из них.
Прибавить темп роста как число единиц. Например, прибавить к цене 5 рублей, потому что темп равен 5%. Процент означает долю, а не число рублей или других единиц, поэтому сначала нужно найти процент от начальной величины. Проверь, что после перевода процента в дробь ты умножил её на начальное значение.
Путать прирост и конечную величину. Прирост — это только то, что прибавилось, а конечная величина включает и начальное значение, и прибавку. Ошибку допускают, когда останавливаются после вычисления процентов. Проверь ответ: для конечного значения нужно сложить начальную величину и общий прирост.
Для простого процентного роста нужно уметь находить процент от числа и переводить проценты в десятичные дроби: например, 5% = 0,05. При вычислении общего прироста используется умножение, а повторение одинаковой прибавки можно представить как сложение одинаковых слагаемых. Этот способ встречается в задачах о вкладах и ценах, а также при равномерном увеличении разных величин. Умение отличать начальную величину от текущей помогает правильно выбрать основу для расчёта.
От какого числа находят процент при простом росте?
Процент каждый раз находят от одной и той же начальной величины. Результат предыдущего периода базой расчёта не становится.
Как найти прирост за один период?
Переведи темп роста в десятичную дробь и умножь на начальную величину. Например, прирост при темпе 5% равен начальной величине, умноженной на 0,05.
Как вычислить прирост за несколько периодов?
Умножь прирост за один период на число периодов. Это работает потому, что при простом росте прирост каждый раз одинаков.
Чем простой процентный рост отличается от увеличения на процент от текущей величины?
При простом росте процент считают от начальной величины, поэтому прирост за период постоянен. Если процент считают от текущей величины, база меняется после каждого периода.
Как найти темп роста, если известны начальная и конечная величины?
Вычти начальную величину из конечной и раздели общий прирост на число периодов. Затем раздели прирост за один период на начальную величину и переведи полученную долю в проценты.
3. Простой процентный рост
