"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Сложный процентный рост — это увеличение величины, при котором очередной процент считают не от первоначального значения, а от результата предыдущего периода. Такой расчёт используют, например, для вкладов, цен и численности населения. Чтобы найти итог, определяют коэффициент роста и умножают на него значение столько раз, сколько периодов прошло. Если процент одинаков каждый раз, вычисление удобно записать с помощью степени.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процентный рост — увеличение величины на заданное число процентов от её текущего значения. Например, если число 100 увеличилось на 10%, к нему прибавили 10. Это понятие помогает описывать изменение величин, например суммы денег или числа жителей.
Коэффициент роста — число, на которое умножают величину после увеличения на заданный процент. При росте на p% он равен 1 + p/100: например, для 10% коэффициент равен 1,1. Он позволяет заменить сложение прибавки умножением и упрощает повторные вычисления.
Сложный процентный рост — последовательное увеличение величины, при котором каждый раз проценты считают от значения, полученного после предыдущего роста. Так, после первого увеличения основой для второго становится уже новое значение. Это понятие нужно, когда величина меняется несколько раз подряд и прибавка тоже меняется.
Период роста — промежуток времени или шаг, за который величина увеличивается на заданный процент. Периодом может быть год, месяц или другой выбранный отрезок. Число периодов показывает, сколько раз нужно применить коэффициент роста.
Чтобы увеличить величину на p%, сначала определяют, сколько составляет p/100 от неё. Эту часть прибавляют к исходной величине, то есть сохраняют всю исходную величину и добавляют к ней ещё p/100. Поэтому новое значение составляет 1 + p/100 от исходного. Например, рост на 20% означает, что получаем 120% прежнего значения, или умножаем его на 1,2.
При сложном росте после каждого периода результат становится основой следующего увеличения. Причина в том, что по условию процент начисляется на текущую величину, а не на старую начальную величину. Поэтому при росте на 10% сначала умножают на 1,1, а затем ещё раз на 1,1 уже полученный результат. Во втором периоде прибавка окажется больше, потому что 10% считают от большего числа.
Если коэффициент одинаков во всех периодах, каждый шаг означает умножение на одно и то же число. Например, за три периода последовательная запись будет A · k · k · k, где A — начальное значение, а k — коэффициент роста. Повторяющееся умножение удобно сокращать степенью: A · k³. Показатель степени равен числу периодов, потому что он показывает, сколько раз коэффициент входит в произведение.
Общая формула сложного роста: A · kⁿ, где A — начальное значение, k — коэффициент роста за один период, а n — число периодов. Например, если на счёте было 1000 рублей, деньги увеличиваются на 10% в год, а прошло два года, то A = 1000, k = 1,1 и n = 2. Подставляем значения: 1000 · 1,1² = 1210 рублей. Степень 2 показывает, что увеличение произошло два раза.
При росте от начального значения процент каждый раз считают от одной и той же величины. Если взять 1000 и прибавлять каждый год 10% от первоначальной суммы, прибавка каждый раз будет 100 рублей: за два года получится 1200 рублей. При сложном росте после первого года станет 1100 рублей, а во втором году прибавится 10% уже от 1100, то есть 110 рублей. Поэтому результат сложного роста равен 1210 рублей и отличается от обычного увеличения.
| Что сравниваем | Сложный процентный рост | Рост каждый раз от начального значения |
|---|---|---|
| От какой величины считают очередной процент | От значения после предыдущего роста | От первоначального значения |
| Как находят значение после одного периода | Умножают текущее значение на коэффициент роста | К начальному значению прибавляют процент от него |
| Как находят значение после нескольких периодов | Умножают на коэффициент роста столько раз, сколько периодов | К начальному значению прибавляют одинаковую прибавку за каждый период |
| Что происходит с прибавкой в каждом следующем периоде | Она увеличивается при положительном росте | Она остаётся одинаковой |
Сначала найди в условии, от какой величины каждый раз считают проценты: это главный признак нужного способа. Если основой становится результат прошлого периода, используй сложный рост. Таблица также помогает проверить, почему при одинаковом положительном проценте итоговые значения различаются.
На счёте было 1000 рублей. Сумма увеличивается на 10% каждый год, причём проценты каждый год начисляют на новую сумму. Сколько рублей будет на счёте через два года? Поскольку проценты начисляют на новую сумму, после каждого года надо заново применить коэффициент 1,1. Найдём сумму последовательно, чтобы не перепутать основу для второго увеличения.
Ответ: через два года на счёте будет 1210 рублей. Вторую прибавку считают от 1100 рублей, а не от первоначальной суммы. Поэтому она равна 110 рублям, а не 100.
Число жителей посёлка составляло 2000 человек и увеличивалось на 25% в год. Сколько жителей будет через три года, если рост каждый год сложный? За один год число жителей умножается на 1 + 25/100 = 1,25. Так как периодов три, коэффициент нужно применить три раза. Можно вычислить значение после каждого года или сразу записать умножение на третью степень.
Ответ: по формуле получится 3906,25 человека, то есть примерно 3906 жителей. Дробное число появилось из-за математической модели роста; фактическое число людей, конечно, целое. Запись 2000 · 1,25³ даёт тот же результат.
После трёх лет сложного роста на 10% в год число увеличилось до 1331. Каким было начальное число? Сначала нужно выяснить, во сколько раз величина выросла за три периода. Затем конечное значение разделим на этот общий коэффициент: это обратное действие к умножению при росте.
Ответ: начальное число было 1000. Проверка: 1000 · 1,1³ = 1331. Проверка подтверждает, что мы разделили конечный результат именно на коэффициент за все три периода.
Каждый раз прибавлять процент от первоначальной величины. Так поступают, потому что привычно находить процент от числа, указанного в начале задачи. Но если в условии проценты начисляют на новую сумму, основа меняется после каждого периода. Проверь себя: перед очередным вычислением подставь результат предыдущего периода, а не начальное значение.
Записывать коэффициент роста как p/100. Это только доля, которую прибавляют, а не всё новое значение. Ошибка возникает, если забыть, что исходная величина тоже остаётся в результате. Для проверки при росте на 10% коэффициент должен быть больше единицы: верный ответ 1,1, а не 0,1.
Умножать на коэффициент только один раз при любом числе периодов. Один раз коэффициент применяют только за один период, поэтому при нескольких периодах такое вычисление не учитывает часть роста. Часто путают общий коэффициент за период и результат за всё время. Сверь число множителей или показатель степени с числом периодов.
Путать число периодов и число начислений. Например, за три года при начислении один раз в год проходят три периода роста и происходят три увеличения. Путаница появляется, когда отсчёт начинают с начального момента и считают его за первое увеличение. Проверь границы времени: увеличение происходит в конце каждого прошедшего периода.
Для сложного роста нужно уметь находить процент от числа и увеличивать число на заданный процент: эти действия помогают получить коэффициент роста. Повторное умножение связывает тему с умножением и степенями, а обратный расчёт начального значения — с делением. Те же приёмы применяют при расчётах вкладов, изменении цен и оценке численности населения. В каждой задаче сначала выясняют, от какого значения считают очередной процент.
Почему сложный процентный рост отличается от обычного увеличения на один и тот же процент?
При сложном росте каждый раз процент считают от нового, уже увеличенного значения. При обычном увеличении процент во всех периодах считают от первоначального числа. Поэтому при положительном проценте сложный рост даёт больший результат.
Как найти коэффициент роста, если известен процент увеличения?
Раздели процент увеличения на 100 и прибавь единицу: коэффициент равен 1 + p/100. Например, при росте на 25% коэффициент равен 1 + 25/100 = 1,25.
Почему при росте на 10% нужно умножать на 1,1?
После увеличения остаётся исходное значение, то есть 100% от него, и прибавляются ещё 10%. Вместе это 110%, или 110/100 = 1,1 от прежнего значения.
Как определить, сколько раз нужно применить коэффициент роста?
Посчитай число периодов, за которые происходит рост. Если увеличение происходит один раз в год, то за три года коэффициент применяют три раза.
Как найти начальное значение, если известны конечное значение и процент роста?
Сначала найди общий коэффициент за все периоды: возведи коэффициент одного периода в степень, равную числу периодов. Затем раздели конечное значение на общий коэффициент.
4. Сложный процентный рост
