"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Распределительное свойство помогает умножать число на сумму или разность, не выполняя сначала действие в скобках. Благодаря этому вычисления можно разбить на более простые шаги, например представить 98 как 100 − 2. Свойство работает и в обратную сторону: одинаковый множитель в нескольких слагаемых можно вынести за скобки. Главное — умножать на каждое слагаемое и сохранять его знак.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое, то есть a(b + c) = ab + ac. Здесь a — множитель, а b и c — слагаемые в скобках. Свойство позволяет заменить одно действие на несколько более простых.
Распределительное свойство относительно вычитания: a(b − c) = ab − ac. Иными словами, число умножают отдельно на уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычитают второе. Эта запись помогает выполнять умножение на разность и не терять порядок действий.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное применение распределительного свойства: ab + ac = a(b + c). Одинаковый множитель a записывают перед скобками, а внутри оставляют множители, которые были рядом с ним. Это нужно, чтобы упростить выражение или сделать вычисление короче.
Удобные слагаемые — числа, на которые можно разложить множитель так, чтобы умножение стало проще выполнить устно. Например, 98 удобно представить как 100 − 2, потому что умножать на 100 легко. Такой выбор помогает заменить трудное вычисление несколькими простыми.
Представь, что в каждой коробке лежат 3 красных и 2 синих карандаша, а коробок 4. Можно сначала посчитать, сколько карандашей в одной коробке, и получить 4 · (3 + 2). Можно отдельно посчитать красные карандаши во всех коробках и синие, а затем сложить результаты: 4 · 3 + 4 · 2. В обоих случаях считаются те же предметы, поэтому 4 · (3 + 2) = 4 · 3 + 4 · 2.
Разность можно представить как сумму слагаемого и противоположного ему числа: b − c = b + (−c). Поэтому свойство для вычитания получается из свойства для сложения: a(b − c) = a(b + (−c)) = ab + a(−c) = ab − ac. Последний знак минус сохраняется, потому что второе слагаемое в скобках было отрицательным. Это объясняет правило, а не просто задаёт его.
Чтобы раскрыть скобки, умножь внешний множитель на каждое слагаемое внутри скобок. Знаки слагаемых не меняются: при сумме между произведениями остаётся плюс, при разности — минус. Например, 5(8 + 2) превращается в 5 · 8 + 5 · 2, а 5(8 − 2) — в 5 · 8 − 5 · 2. Так скобки исчезают, но значение выражения остаётся прежним.
Для удобного вычисления представляй один из множителей как сумму или разность чисел, которые легко умножить. Например, 7 · 98 можно записать как 7 · (100 − 2): сначала получается 7 · 100 = 700, затем 7 · 2 = 14, и остаётся выполнить 700 − 14. Такой выбор работает потому, что 98 действительно равно 100 − 2. Всегда проверяй разложение до умножения.
Распределительное свойство можно применять и в обратном направлении. Если в слагаемых повторяется множитель, например 6 · 8 + 6 · 3, его можно записать один раз перед скобками: 6(8 + 3). Внутрь скобок попадают только оставшиеся множители — 8 и 3. При вычитании действует тот же шаг: 6 · 8 − 6 · 3 = 6(8 − 3).
| Направление | Запись | Что сделать |
|---|---|---|
| Умножение числа на сумму | a(b + c) = ab + ac | Умножить на каждое слагаемое |
| Умножение числа на разность | a(b − c) = ab − ac | Умножить на оба числа, сохранив минус |
| Вынесение общего множителя | ab + ac = a(b + c) | Записать общий множитель перед скобками |
| Вынесение общего множителя при вычитании | ab − ac = a(b − c) | Оставить внутри скобок разность |
В первых двух строках скобки раскрывают, а в последних двух, наоборот, ставят. Перед выбором действия найди повторяющийся множитель или проверь, можно ли удобно разложить число. После преобразования полезно раскрыть скобки обратно и убедиться, что исходное выражение восстановилось.
Задача 1. Вычислите 6 · 37, представив 37 как 30 + 7.
Задача 2. Вычислите 25 · 104, выбрав представление 104 = 100 + 4.
Задача 3. Упростите выражение 18 · 47 − 18 · 27 и найдите его значение.
При раскрытии скобок иногда умножают внешний множитель только на первое слагаемое. Так происходит, если ученик воспринимает скобки как одну запись и забывает, что сумма состоит из нескольких частей. Умножь множитель на каждое слагаемое и проверь, что справа появились все слагаемые со своим произведением.
При умножении на разность можно потерять или заменить знак второго произведения. Причина часто в том, что минус принимают за часть числа или просто переписывают выражение невнимательно. Сверь знак со скобками: a(b − c) раскрывается как ab − ac, а не как ab + ac.
При вынесении общего множителя в скобки иногда записывают исходные произведения вместо оставшихся множителей. Например, из ab + ac нельзя получить a(ab + ac): множитель a уже вынесен. Проверь обратным действием: после раскрытия скобок должны получиться ровно исходные слагаемые.
Неверное разложение числа на сумму или разность меняет значение выражения. Например, если 98 ошибочно заменить на 100 − 3, получится не исходное число. Перед умножением выполни сложение или вычитание в скобках и убедись, что оно даёт первоначальный множитель.
Для работы со свойством нужны таблица умножения, правила действий с натуральными числами и знание порядка действий в выражениях. Оно помогает быстрее выполнять устные и письменные вычисления, упрощать выражения и решать уравнения. Позже раскрытие скобок и вынесение общего множителя будут нужны при преобразовании алгебраических выражений.
Почему при умножении числа на сумму нужно умножать его на каждое слагаемое?
Сумма обозначает несколько частей, и умножить число на всю сумму — значит взять такое количество каждой части. Поэтому произведение равно сумме отдельных произведений: a(b + c) = ab + ac. Например, 3 группы по 5 красных и 2 синих предмета — это 3 · 5 красных и 3 · 2 синих.
Как раскрыть скобки, если в них стоит разность?
Умножь внешний множитель на оба числа в скобках. Между произведениями оставь знак минус: a(b − c) = ab − ac. Например, 4(10 − 3) = 4 · 10 − 4 · 3.
Как понять, на какие числа разложить множитель для удобного вычисления?
Выбирай сумму или разность, в которой одно из чисел легко умножить на данный множитель. Например, 98 удобно представить как 100 − 2, а 37 — как 30 + 7. После преобразования проверь, что выбранные числа действительно дают исходное число.
Как найти общий множитель и вынести его за скобки?
Найди число или выражение, которое умножается в каждом слагаемом. Запиши его перед скобками, а внутри укажи оставшиеся множители: ab + ac = a(b + c). Проверить результат можно обратным действием — раскрыть скобки.
Можно ли применить распределительное свойство к выражению с несколькими слагаемыми?
Да, множитель нужно умножить на каждое слагаемое, сохраняя знаки. Например, a(b + c + d) = ab + ac + ad. Если в выражении есть несколько действий, сначала учитывай порядок действий и скобки.
15. Применение распределительного свойства умножения
