5.1. Разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь

Определения и обозначения

Конечная десятичная дробь — десятичная дробь, запись которой содержит конечное число цифр после запятой. Например, 0,375 — конечная дробь, потому что после запятой записаны три цифры. Такое определение помогает отличить её от записи, в которой цифры после запятой продолжаются без конца.

Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь — представление этой дроби в виде конечной десятичной дроби. Например, равенство 3/8 = 0,375 показывает разложение дроби 3/8. Оно нужно, когда удобнее считать или сравнивать числа в десятичной записи.

Несократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1. Например, 3/8 — несократимая дробь, а 6/16 можно сократить до 3/8. Это понятие важно, потому что возможность конечной десятичной записи определяют после сокращения.

Знаменатель несократимой дроби — число внизу дроби, по которому определяют, можно ли представить её конечной десятичной дробью. Для такой проверки его раскладывают на простые множители, то есть на простые числа, произведение которых даёт знаменатель. Если остались только 2 и 5, конечная запись возможна.

Как это устроено

Десятичную дробь можно записать обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Поэтому, чтобы получить десятичную запись, нужно заменить исходную дробь равной ей дробью с таким знаменателем. Например, 7/20 = 35/100 = 0,35: числитель и знаменатель умножили на одно и то же число, значит, значение дроби не изменилось.

Почему после сокращения в знаменателе должны остаться только 2 и 5? Любой знаменатель 10, 100, 1000 и дальше состоит только из этих простых множителей: 10 = 2 · 5, 100 = 2² · 5², 1000 = 2³ · 5³. Значит, если несократимый знаменатель можно превратить в одну из таких степеней, в нём не может быть других простых множителей. И наоборот, если есть только 2 и 5, недостающие множители можно добавить умножением.

Отсюда получается проверка. Сначала сократи дробь: общий множитель числителя и знаменателя может убрать лишние множители из знаменателя. Затем разложи новый знаменатель на простые множители и проверь, встречаются ли среди них числа, отличные от 2 и 5. Если встречаются, конечной записи не будет; если нет, дробь можно разложить.

Когда в знаменателе есть только 2 и 5, подбери множители так, чтобы получить одинаковое число двоек и пятёрок. Тогда знаменатель станет степенью числа 10. Например, 8 = 2³, поэтому для получения 1000 = 2³ · 5³ нужно домножить знаменатель на 5³ = 125. Числитель обязательно умножают на то же число, иначе дробь изменится.

Если в знаменателе несократимой дроби есть другой простой множитель, например 3, превратить его в степень числа 10 умножением нельзя. При умножении на целое число множитель 3 не исчезнет, а в знаменателях 10, 100, 1000 его нет. Поэтому десятичная запись такой дроби будет бесконечной, а не конечной.

Как определить и выполнить разложение дроби в конечную десятичную

Пользуйся таблицей по порядку: пропуск сокращения может привести к неверному выводу. Если знаменатель подходит, подбери множитель до степени числа 10 и умножь на него обе части дроби. Если не подходит, остановись после проверки: конечной десятичной записи нет.

Разбор задач

Разложите дробь 3/8 в конечную десятичную дробь.

1. Проверим, можно ли получить знаменатель — степень числа 10. Дробь 3/8 уже несократима, а знаменатель 8 = 2³ содержит только множитель 2. Значит, конечная запись возможна.

2. Чтобы получить 1000 = 2³ · 5³, к трём множителям 2 нужно добавить три множителя 5. Их произведение равно 125, поэтому умножим на 125 и числитель, и знаменатель: 3/8 = (3 · 125)/(8 · 125) = 375/1000.

3. Знаменатель 1000 показывает, что после запятой будет три цифры. Записываем 375/1000 = 0,375 и проверяем: 375 тысячных — это три целых знака после запятой.

Ответ: 3/8 = 0,375.

Определите, можно ли разложить дробь 7/30 в конечную десятичную дробь.

1. Сначала проверим сокращение. У чисел 7 и 30 нет общего делителя, кроме 1, поэтому дробь уже несократима.

2. Разложим знаменатель: 30 = 2 · 3 · 5. Среди множителей есть 3, а в степенях числа 10 могут встречаться только 2 и 5.

3. Значит, нельзя домножить 30 так, чтобы получить 10, 100, 1000 или другую степень числа 10: множитель 3 останется. Поэтому конечное разложение невозможно.

Ответ: нельзя.

Определите, можно ли разложить дробь 21/140 в конечную десятичную дробь, и выполните разложение, если возможно.

1. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7: 21/140 = 3/20. Проверять нужно именно сокращённую дробь, потому что общий множитель мог убрать неподходящий множитель из знаменателя.

2. Разложим новый знаменатель: 20 = 2² · 5. В нём остались только 2 и 5, значит, конечная десятичная запись возможна. До 100 не хватает одного множителя 5, поэтому домножим обе части дроби на 5: 3/20 = 15/100.

3. Знаменатель 100 означает две цифры после запятой. Следовательно, 15/100 = 0,15; проверка обратным переводом даёт ту же дробь.

Ответ: разложение возможно, 21/140 = 0,15.

Типичные ошибки

Ошибка: проверять исходный знаменатель, не сократив дробь. Так можно решить, что разложение невозможно, хотя общий множитель числителя и знаменателя убирает неподходящий множитель. Сократи дробь и только потом раскладывай знаменатель, например 21/140 сначала преврати в 3/20.

Ошибка: считать, что любой знаменатель можно домножить до степени числа 10. Так думают, потому что умножение кажется способом получить любое нужное число, но множители 3, 7 и другие простые числа в результате не исчезают. Проверь разложение: если после сокращения остался множитель, отличный от 2 и 5, конечной записи нет.

Ошибка: прибавлять число к числителю или знаменателю вместо умножения дроби. Такое действие меняет её значение и не создаёт равную дробь. Для самопроверки сравни действия: числитель и знаменатель должны умножаться на одно и то же число, например 3/8 = 375/1000.

Ошибка: неверно определять положение запятой в ответе. Например, при знаменателе 1000 нужно оставить три цифры после запятой, а не две. Проверь, сколько нулей в полученном знаменателе: 10 соответствует одной цифре, 100 — двум, 1000 — трём.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь сокращать обыкновенные дроби и раскладывать натуральные числа на простые множители. Эти действия помогают проверить знаменатель и понять, получится ли конечная десятичная запись.

Также понадобятся равные дроби и умножение числителя и знаменателя на одно число. Новая запись остаётся равной исходной именно благодаря этому правилу.

Разложение связывает обыкновенные дроби с десятичными. Оно пригодится, когда нужно сравнивать дроби или выполнять вычисления в удобной форме.

Что запомнить

• Перед проверкой знаменателя дробь нужно сократить.
• В знаменателе несократимой дроби могут остаться только множители 2 и 5.
• Если есть другой простой множитель, конечной десятичной записи нет.
• Чтобы получить конечную десятичную дробь, знаменатель приводят к степени числа 10.
• Числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.