4.11. Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел

Определения и обозначения

Приближённое значение числа — число, которым заменяют точное значение, когда оно неизвестно или его неудобно использовать. Точность можно указать словами, например «с погрешностью не более 0,1», или записать интервал возможных значений. Это помогает понять, насколько можно доверять вычислениям с таким числом.

Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений. Если точное значение равно a, а приближённое — ã, то погрешность равна |a − ã|. Модуль не бывает отрицательным, поэтому погрешность всегда равна нулю или больше нуля. Она показывает расстояние между двумя значениями.

Приближение с недостатком — приближённое значение, которое меньше точного. Чтобы определить такой вид приближения, сравнивают числа: если ã < a, приближение выполнено с недостатком. Например, 3,1 — приближение числа 3,14 с недостатком.

Приближение с избытком — приближённое значение, которое больше точного. Достаточно проверить, что ã > a. Например, 3,2 — приближение числа 3,14 с избытком; такое сравнение помогает понять направление приближения.

Как это устроено

Если приближённое значение числа равно ã, а его погрешность не больше δ, точное значение находится между ã − δ и ã + δ. Действительно, точное число может отстоять от приближённого не дальше чем на δ в любую сторону. Поэтому его удобно представить как число из промежутка [ã − δ; ã + δ]. Для двух чисел получаются два таких промежутка.

При сложении неточности слагаемых могут одновременно увеличить или одновременно уменьшить сумму. Поэтому отклонение результата не может быть больше суммы допустимых отклонений исходных чисел: погрешность суммы не превосходит δ₁ + δ₂. Например, если каждое слагаемое может отличаться на 0,1, сумма может отличаться на 0,2. Знак ошибки заранее неизвестен, поэтому складывают именно границы погрешностей.

Для разности действует такое же сложение погрешностей. Если уменьшаемое завышено, а вычитаемое занижено, разность получится больше точной; при обратных ошибках она окажется меньше. Оба отклонения могут усилить ошибку результата, поэтому разность погрешностей исходных чисел брать нельзя. Верхняя оценка погрешности разности также равна δ₁ + δ₂.

При умножении неточность одного множителя влияет на результат тем сильнее, чем больше другой множитель. Кроме того, одновременно могут измениться оба числа. Поэтому погрешность произведения зависит и от допустимых ошибок множителей, и от их величин; простого сложения погрешностей недостаточно. Удобно определить возможные промежутки для множителей, перемножить их границы и сравнить полученный диапазон с приближённым произведением.

При делении ошибка числителя меняет частное, но ошибка знаменателя тоже меняет его, причём особенно заметно при малом знаменателе. Сначала находят промежуток возможных значений делителя. Он не должен включать ноль или подходить к нему слишком близко, иначе частное может стать очень большим или вообще не определяться. После проверки делителя учитывают возможные значения и числителя, и знаменателя.

Как оценивать погрешность результата арифметического действия

В таблице приближённые значения обозначены через ã и b̃, а их погрешности — через δ₁ и δ₂. В столбце о результате записано действие с приближёнными числами; последний столбец помогает не забыть условия оценки. Пользуйся таблицей так: сначала найди строку нужного действия, затем проверь исходные данные и оцени, насколько результат может отклониться от вычисленного.

Разбор задач

Задача 1. Числа 3,47 и 2,8 заменили приближёнными значениями с погрешностями не более 0,01 и 0,1. Оценим погрешность суммы. Здесь не нужно знать точные значения ошибок: достаточно сложить их верхние границы, потому что обе ошибки могут увеличить или уменьшить результат.

1. Вычислим сумму приближённых значений: 3,47 + 2,8 = 6,27.
2. Сложим погрешности: 0,01 + 0,1 = 0,11.
3. Значит, точная сумма отличается от 6,27 не более чем на 0,11. Её значение находится от 6,16 до 6,38.

Ответ: приближённая сумма равна 6,27, её погрешность не более 0,11.

Задача 2. Длина прямоугольника приблизительно равна 5,2 м с погрешностью не более 0,1 м, ширина — 1,9 м с такой же погрешностью. Найдём приближённую площадь и её погрешность. Для площади перемножаем длину и ширину, а затем учитываем, что оба измерения могут измениться в пределах своих погрешностей.

1. Площадь по приближённым измерениям: 5,2 · 1,9 = 9,88 м².
2. Длина находится между 5,1 и 5,3 м, ширина — между 1,8 и 2 м. Поскольку оба числа положительны, площадь не меньше 5,1 · 1,8 = 9,18 м² и не больше 5,3 · 2 = 10,6 м².
3. От 9,88 до нижней границы 0,70 м², а до верхней — 0,72 м². Значит, подходит общая оценка погрешности не более 0,72 м².

Ответ: приближённая площадь равна 9,88 м², погрешность не более 0,72 м².

Задача 3. Приближённое значение делимого равно 12,4 с погрешностью не более 0,1, а делителя — 3,1 с погрешностью не более 0,1. Вычислим частное и оценим влияние неточностей. Сначала проверим знаменатель: он находится от 3 до 3,2, то есть не близок к нулю.

1. Частное приближённых значений: 12,4 : 3,1 = 4.
2. Делимое лежит между 12,3 и 12,5, делитель — между 3 и 3,2. Наименьшее возможное частное равно 12,3 : 3,2 = 3,84375, наибольшее — 12,5 : 3 = 4,1666…
3. Отклонение от 4 не превосходит примерно 0,157. Округляя верхнюю оценку вверх, получаем погрешность не более 0,17.

Ответ: приближённое частное равно 4, его погрешность не более 0,17.

Типичные ошибки

При вычитании иногда вычитают погрешности уменьшаемого и вычитаемого. Так делают, ожидая, что неточности сократятся, но они могут, наоборот, усилить ошибку разности. Для проверки сложи обе погрешности и используй сумму как верхнюю границу.

Другая ошибка — считать, что погрешность произведения равна сумме погрешностей множителей. Это забывает о величинах самих множителей: изменение одного из них влияет на произведение в зависимости от второго. Проверяй себя, находя возможные интервалы для множителей и оценивая границы их произведения.

При делении могут учесть погрешность делимого, но забыть о неточности делителя. Тогда расчёт не описывает все возможные значения частного, а при малом знаменателе ошибка особенно существенна. Проверь интервал делителя: он должен быть отделён от нуля; затем учитывай границы обоих чисел.

Иногда результат записывают как точное равенство или указывают больше знаков точности, чем позволяют измерения. Это создаёт впечатление, будто вычисленное число известно совершенно точно. Сверь точность ответа с исходными данными и обозначь результат как приближённый, если точное значение неизвестно.

Связь с другими темами

Для работы с приближениями нужны навыки округления, вычитания и понимание точности записи числа. Эти умения помогают находить возможные границы исходных значений. Оценка погрешностей встречается при измерениях и в геометрических задачах, например при вычислении площади по приближённым длинам. Позже те же идеи пригодятся в формулах, где несколько неточных величин складывают, умножают или делят.

Что запомнить

• Погрешность — неотрицательная величина.
• Погрешность суммы не превосходит суммы погрешностей слагаемых.
• Погрешность разности оценивают так же: складывают погрешности уменьшаемого и вычитаемого.
• При умножении результат зависит от погрешностей и величин обоих множителей.
• При делении учитывают погрешность делителя и не допускают знаменатель, близкий к нулю.
• Точность результата не может быть выше точности исходных данных.